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Capítulo 6: Teoría del Crecimiento Dirigido por la Demanda(51)gy y(1 b)yb nyybDe la ecuación (7) obtenemos la tasa de crecimiento del empleo:gL(52) g gLy ggLgy y y (1 b)L y y b n (1 b) b yy y1 (1 b)y yb n byyy2y y b ny y (1 b) byb nbAnalizamos la estabilidad del equilibrio hallando la matriz Jacobiana del tercer sistema.Este sistema está conformado por las ecuaciones (5) y (28). Para hallar la matrizJacobiana tomamos las derivadas parciales:yyyy g g Y ( y y) gy gg b(gY g n) g gY gYElemento J III,11 : ( y y) 0gygElemento J III,12 : Y 0 gElemento J III,21 :gg g b 2Yg Y Elemento J III,22 :gg b g YAl igual que en el caso anterior, el sistema III no es lineal engyygw, por lo tanto surepresentación matricial es más compleja en comparación al sistema de ecuaciones I.No obstante, en términos matriciales y considerando la matriz jacobiana, este sistema seexpresa como:ggY (y y) g b 2 gY g b gY gy 0 g bn gY Los elementos de la primera fila de la matriz Jacobiana son iguales a los de las matricesanteriormente presentadas. Sin embargo, para hallar los signos de los elementos de lasegunda fila necesitamos evaluarlos en los valores de equilibrio:156
Félix Jiménez / Crecimiento Económico: Enfoques y ModelosElemento J III,21 :ggY g b g2Y g b zg 2Donde z /( ) 1 YY. En términos de z, tenemos:g Y bnz 1 b bzPara que la tasa de crecimiento del producto sea positiva, debe cumplirse que: bnz 0 y 1 b bz 0 . Es decir, debe cumplirse:(53) bnz1(54) b ( z 1)Las tasas de crecimiento de la productividad del trabajo y del empleo son iguales a:ggYz bnzz 1b bzgL( z 1)( z 1) bnz gYz z 1b bzReemplazando los valores de equilibrio en la derivada de la variación de laproductividad del trabajo con respecto a la tasa de crecimiento del producto, obtenemos:Elemento J III,21 :ggY b g b 2zg z12gggY bz1 bnzz 1b bz b bz b z bnz 12Elemento J III,22 :gg b g Y gg 1b bz ( 1b) (1 b) bnz bnz 1b bz157
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