enfoques y modelos. Capítulo 6 - Pontificia universidad ...

Félix Jiménez / Crecimiento Económico: Enfoques y ModelosRESOLUCIÓN MATEMÁTICA: ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLILa forma general de una ecuación de Bernoulli es la siguiente:x f ( t)x g(t)xDonde f (t)y g (t)son funciones continuas en un intervalo [ a,b] R . Para resolver estaecuación, se divide ambos lados entre x .xxf ( t) g(t) 1 x(1) 1Realizando un cambio de variable: z ( t) 1/ x y z [( 1)x]/x , se reescribe la ecuación(1) en términos de la nueva variable:1 z 1f ( t)z g(t)Multiplicando por ( 1):z ( 1)f ( t)z ( 1)g(t)La ecuación (2) puede resolverse como una ecuación diferencial lineal. La solución parauna ecuación diferencial lineal general de primer orden es:z a ( t)z b ( t)z ea(t)dtCea(t ) dtb(t)dtDonde a (t)y b (t)están dadas y C es la constante de integración (Berck y Sydsaeter1994: 54).Análisis cuantitativo de la estabilidad del equilibrioLa forma cuantitativa de analizar la estabilidad del modelo, requiere derivar la ecuacióncon respecto a g :K gKk I KgK f '(g ) g 2gDonde gKes la solución de equilibrio. Si esta derivada es menor que cero, el sistema esestable; si es mayor o igual a cero, el sistema es inestable.EngK gI g gKKf'(g ) gII 2gI gI 0SigI 0Eng g el equilibrio es asintóticamente estable.KI61