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Capítulo 6: Teoría del Crecimiento Dirigido por la DemandaLa matriz Jacobiana del tercer sistema de ecuaciones es igual a:JIII (yy) 1 b bz b z bnz1b bz bnz (1 b)La traza de la matriz J III es:Tr(JTr(JIII1b bz Tr( JIII) ( yy) (1 b) bnz III1b bz (1 b)( bnz)) (yy) bnz b bz b (1 b)bnz ) (y y) bnzTr(JTr(JIIIIIIbz (1 b)n) ( y y) bnzbz (1 b)n) (y y) bnzPor la ecuación (10) sabemos que el término ( y y) es negativo. Asimismo,sabemos que si la tasa de crecimiento del producto es positiva, entonces, bnz 0 ,además, los parámetros , b son positivos y z 1. Por lo tanto, para que la traza tengasigno negativo y el equilibrio del sistema cumpla con una de las condiciones deestabilidad, entonces, debe cumplirse que:(55) ( 1b ) n 0 (1 b)nEl determinante de la matriz J 3 es:Det(JIIIDet(J bz) (yy) III bz) (yy) (1 b)n 1 b bz b bnzz bnz (1 b)n 1 b bz b bnzz bnzEl primer término del lado derecho es positivo, por lo tanto, para que el determinante dela matriz Jacobiana sea positivo, el segundo término del lado derecho debe ser negativo.Es decir, debe cumplirse que: 158
Félix Jiménez / Crecimiento Económico: Enfoques y Modelos(56)z 1b bzb bnzLa ecuación (34) establece que el máximo valor que puede tomar n es igual a: (1 b)nn (1 b)En el límite, reemplazamos este valor máximo de n en el término del lado derecho de laecuación (35):1z b bz bzn1z b bz bzn1z b bz bzn 1b bz z bz (1 b) 1b bzz(1 b) bz(1 b) 1b bz (1 b)z1b bz1 b bz1z bzn zReemplazamos este valor en la ecuación (35), la nueva condición para que eldeterminante de la matriz Jacobiana sea positivo es igual a:b(57) b 1zb159
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