FUNDAMENTOS DE FÃSICA III - Departamento de FÃsica - UFMG

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Figura 4.1: Problema geral do cálculo do campo elétricoVamos escrever o campo elementarem um ponto P do espaço:dErdqgerado pelo elemento de carga dqrdEdq1r4π ε |dqr−'|=20 Prˆ.(4.1)Note bem quer r − ' é um vetor de origem no elemento de carga dq er Pextremidade no ponto P cuja posição é dada pelo vetor r P. A direção e sentidodo vetor dErdqsão dadas pelo vetor unitário:rrˆ= r|PPr−'r .−'|(4.2)Para conhecer o campo resultante devemos integrar sobre todos oselementos de carga (aqui entra o Princípio da Superposição):rEr 1) =4π εdqr−'|)R( rPr 20(|P∫rˆ.(4.3)Se a distribuição de cargas não for homogênea, o elemento de carga podedepender do ponto r′ . Em geral, podemos escrever:75
dq = ρ (') dV ′(4.4)onde ρ (r r ')é a densidade volumétrica de cargas (número de cargas por unidade devolume) no ponto de vetor-posiçãor ' e d V ′ é o elemento de volume (você vaiintegrar sobre as variáveis dentro da distribuição de cargas, não sobre umvolume arbitrário).Com isso, a expressão mais geral para o campo eletrostático gerado por umadistribuição de cargas contínuas em um ponto cuja posição é especificada pelo vetorr Pé:rErr 1 (') dV ′) =4∫ ρ r rπ ε (|−'|)( rP30 Pr(Pr−').(4.5)4.1.2 FERRAMENTAS MATEMÁTICAS IMPORTANTESAlém dos pontos que já enfatizamos no que se refere a montar o problema,para resolver problemas que envolvem o cálculo do campo elétrico de distribuiçõescontínuas de carga, é importante ter familiaridade com os vários elementos de volumed V ′ que podem aparecer. No caso unidimensional, onde temos uma distribuiçãolinear de cargas, o elemento de volumed V ′ se transforma em elemento decomprimento dx’ ; a densidade volumétrica de cargas se reduz à densidade linear λ(número de cargas por unidade de comprimento).Outra ferramenta matemática importante é a expansão em série de Taylor.Uma das muitas utilizadas é:1= 1−x + x1+x 21 2−L se x
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GEOMETRIAComprimento de uma circunf
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SINAIS E SÍMBOLOS MATEMÁTICOS= é
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