FUNDAMENTOS DE FÍSICA III - Departamento de Física - UFMG

πρ θθπr senE = r2R2dE iˆ1x ∫ • dq= ∫ dr d[ r senθcosφ]dφ0 ∫ ∫−0 02 24π ε [ r + r − 2 r r cosθ]3/20pPA integral sobre φ só envolve ocos φ que, integrado no intervalo de 0 a 2 π seanula. Um argumento completamente análogo vai levar você a concluir que:E x= E y= 0.Então, o que nos resta é calculartrabalhoso, como você verá a seguir.Ez. Entretanto, o cálculo desta integral é muitoA integralEzque desejamos é:Ezrˆ ρ R• k = − dr2ε∫0∫senθ( r− r cosθ)2= πP∫ dEdq0 2 2[ 2 cos ]3/20 rp+ r − rPr θrdθ.A integração sobre a variável θ pode ser efetuada fazendo a seguinte transformaçãode variáveis:t = 2 r r cosθ→ dt = 2 r r senθdθ.− (5.7)P+PEsta transformação afeta apenas a integral em θ , vamos escrevê-la como:2( π r senθ( rP− rcosθ)I r)= ∫02 2[ r + r − 2 r r cosθ]3/2pPdθ.O integrando pode ser preparado para integração da seguinte forma:[ rr2p2senθ( r+ r2P− 2 r− r cosθ)Pr cosθ]3/223( r rpsenθ− r senθcosθ)dθ= dθ=2 23/2[ r + r − 2 r r cosθ]pP98