FUNDAMENTOS DE FÃSICA III - Departamento de FÃsica - UFMG

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vem:rP− r = −rsenθcosφiˆ− r senθsenφˆj+ ( r − rcosθ) kˆ.PFigura 5.5: Escolha do referencial: coordenadas esféricas.Assim, de acordo com a equação (5.6) o elemento de campo elétrico gerado pord q= ρdVfica:rdE21 ρrdr senθdθdφ2 24πε[ r + r − 2rrcosθ]= dq3/20 pPr(Pr−),onde:rP− r2 21/2= [ rp+ r − 2 rPr cosθ]2e: dV = r dr senθdθdφé o elemento de volume em coordenadas esféricas. Podemos agora verificarexplicitamente que os campos nas direções x e y se anulam. Para isso, escreva acomponente do elemento dErdqna direção x e o integre sobre o volume da esfera:97
πρ θθπr senE = r2R2dE iˆ1x ∫ • dq= ∫ dr d[ r senθcosφ]dφ0 ∫ ∫−0 02 24π ε [ r + r − 2 r r cosθ]3/20pPA integral sobre φ só envolve ocos φ que, integrado no intervalo de 0 a 2 π seanula. Um argumento completamente análogo vai levar você a concluir que:E x= E y= 0.Então, o que nos resta é calculartrabalhoso, como você verá a seguir.Ez. Entretanto, o cálculo desta integral é muitoA integralEzque desejamos é:Ezrˆ ρ R• k = − dr2ε∫0∫senθ( r− r cosθ)2= πP∫ dEdq0 2 2[ 2 cos ]3/20 rp+ r − rPr θrdθ.A integração sobre a variável θ pode ser efetuada fazendo a seguinte transformaçãode variáveis:t = 2 r r cosθ→ dt = 2 r r senθdθ.− (5.7)P+PEsta transformação afeta apenas a integral em θ , vamos escrevê-la como:2( π r senθ( rP− rcosθ)I r)= ∫02 2[ r + r − 2 r r cosθ]3/2pPdθ.O integrando pode ser preparado para integração da seguinte forma:[ rr2p2senθ( r+ r2P− 2 r− r cosθ)Pr cosθ]3/223( r rpsenθ− r senθcosθ)dθ= dθ=2 23/2[ r + r − 2 r r cosθ]pP98
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então que houve apenas uma transfe
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As condições ambientais também p
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Ao contrário da eletrização por
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GEOMETRIAComprimento de uma circunf
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SINAIS E SÍMBOLOS MATEMÁTICOS= é
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