voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

More documents

Recommendations

Info

$Fractional and operational calculus with generalized fractional ...$

$Numerical Methods Course Notes Version 0.1 (UCSD Math 174, Fall ...$

Za edna formalna teorija T velime deka e neprotivre~na ako ne sodrì formula A takva {to i A i ¬A se teoremi vo T. 2.9 o Formalnata teorija L e neprotivre~na. Dokaz: Od 2.5 o imame deka sekoja teorema na L e tavtologija. Istotaka negacija na tavtologija ne moè da bide tavtologija, {to zna~i nevozmo`no e i A i ¬A da bidat teoremi vo L. ■ Zabele{ka. Da zabeleìme deka formalnata teorija L e neprotivre~na akko postoi formula koja{to ne e teorema na L. Ako L e neprotivre~na, toga{ jasno e deka postojat formuli koi{to ne se teoremi na L, kako {to se, na primer, negacii na tavtologii. Od druga strana, bidej}i formulata ¬A⇒(A⇒B) e teorema na L, dokolku L ne bi bila neprotivre~na teorija, t.e. dokolku postoi formula A takva {to i A i ¬A imaat dokaz vo L, toga{, od gornata teorema i MP bi sleduvalo deka sekoja formula B ima dokaz (t.e. deka e teorema na L). (Ovaa ekvivalentnost vaì za sekoja teorija koja{to ima pravilo za izveduvawe modus ponens i vo koja{to gornata formula ima dokaz.) Za edna teorija vo koja{to postoi formula koja{to ne e teorema velime deka e apsolutno neprotivre~na teorija. Ovaa definicija e primenliva duri i na teorii koi ne sodràt znak za negacija. 3.2.1. Ve`bi: 1. Da se pokaè deka za proizvolni formuli A , B , C , slednite formuli se tavtologii vo L, {to zna~i deka se teoremi na L. (a) ((A ∨ B ) ∧ (A ⇒C ) ∧ (B ⇒C )) ⇒C . (b) A ⇒(B ⇒C )⇔(A ∧ B) ⇒C . 2. Da se pokaè deka: (a) A ,B├−A ⇒B, (b) A ,¬B├−¬(A ⇒B), (v) ¬A ,B ├−A ⇒B, (g) ¬A ,¬B├−A ⇒B, (d) ├−A ∧¬A ⇒B, (|)├− ((A ⇒B) ⇒A ) ⇒A . 3. Neka A e iskazna formula, koja{to ne e tavtologija. Neka L + e formalna teorija dobiena od L dodavaj}i kako nova {ema aksiomi site formuli koi{to se dobivaat od A so zamena na iskaznite bukvi so iskazni formuli, pri {to isti iskazni bukvi se zameneti so isti iskazni formuli. Da se pokaè deka L + ne e neprotivre~na teorija. (Upatstvo: A ne e tavtologija. Ako ¬A e tavtologija, toga{ i A i ¬A se teoremi vo L + , pa L + 122
ne e neprotivre~na. Zatoa neka ni A ni ¬A ne se tavtologii. Toga{ postojat vrednosti na promenlivite a 1 ,...,a n {to se pojavuvaat vo A (da re~eme σ 1 ,...,σ n ) za koi formulata A prima vrednost ⊥. Neka B e formula dobiena od A , taka {to a i se zamenuva so formulata (p⇒p) ako a i e T, a so ¬(p⇒p), ako a i e ⊥. Proveri deka B e kontradikcija vo L i istovremeno B e aksioma vo L + , pa i B i ¬B se teoremi vo L + .) 4. Da se proveri dali se to~ni tvrdewata: (a) ¬A ,A ├− B; (b) A ⇔B,A ├− B; (v) A ⇒B, B ⇒A ├− A ⇔B; (g) A ∧ B,¬A ⇒B ├− ¬B; (d) A ⇒B, C ⇒D,A ∨ C ├− B ∧ D. 5. Da se pokaè deka A ∨ B ⇒C ∧ D, C ∨E ⇒F├− A ⇒F 6. Da se pokaè deka za sekoj priroden broj n pogolem od 1 e to~no deka ├− A n , kade {to A n e formulata (p o ⇒p 1 )⇒((p 1 ⇒p 2 )⇒(...((p n-1 ⇒p n )⇒(p o ⇒p n )))...). 3.3. Drugi aksiomatizacii na iskaznoto smetawe. Za iskaznoto smetawe moàt da se najdat i drugi sistemi aksiomi koi{to }e go dadat istiot rezultat. ]e dademe nekolku primeri na formalni teorii na iskaznoto smetawe, pri {to }e koristime mnoèstvo svrznici od koe{to moàt da se izvedat site drugi osnovni svrznici na iskaznoto smetawe. L 1 : ∨ , ¬ se osnovni svrznici. (Koristime A ⇒ B kako skratena oznaka za ¬A ∨ B.) Mnoèstvoto formuli se definira kako i porano. Imame ~etiri {emi aksiomi: A ∨ A ⇒ A (A 1 1) A ⇒ (A ∨ B) (A 1 2) A ∨ B ⇒ B ∨ A (A 1 3) (B ⇒ C ) ⇒ (A ∨ B ⇒ A ∨ C ) (A 1 4) Edinstveno pravilo za izveduvawe e modus ponens. L 2 : ∧ ,¬ se osnovni svrznici. A ⇒ B e kratenka za ¬(A ∧ ¬B). Ima tri {emi aksiomi: A ⇒ (A ∧ A ) (A 2 1) A ∧ B ⇒ A (A 2 2) (A ⇒ B) ⇒ (¬(B ∧ C ) ⇒ ¬(C ∧ A )) (A 2 3) 123
Page 1:
UNIVERZITET "SV. KIRIL I METODIJ" P
Page 4 and 5:
Na krajot od vtorata glava, po odde
Page 6 and 7:
2.11.1. Ve`bi 81 2.12. Lemata na Co
Page 8 and 9:
2'. Vo primerot 2 so tek na vreme b
Page 10 and 11:
1.2. Iskazi i iskazni formuli Matem
Page 12 and 13:
Da navedeme u{te primeri na atomarn
Page 14 and 15:
e~enicite (3),(4) i (6) se to~ni. S
Page 16 and 17:
iskazni bukvi (}e gi vikame i iskaz
Page 18 and 19:
x>3 i x
Page 20 and 21:
X=X; X⊆Y⇔(x∈X⇒x∈Y); X=Y
Page 22 and 23:
1.4. Tavtologii Iskazna formula koj
Page 24 and 25:
1. Opredeli dali slednive iskazni f
Page 26 and 27:
p r ¬ q ¬ r p r ¬ r ¬ q sl.1.4
Page 28 and 29:
2. x 1 x 2 x 3 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T
Page 30 and 31:
mo`no, zatoa {to funkcijata na vist
Page 32 and 33:
Dali {⇒,*} e generira~ko mnoèstv
Page 34 and 35:
6.14 o (i) X \ Y=∅ ⇔ X ⊆ Y; (
Page 36 and 37:
(a) A ∩ (B+C) = (A ∩ B)+(A ∩
Page 38 and 39:
(g) ( I Aj ) ∪( IBk ) ⊆ I( Aj
Page 40 and 41:
1.9. Re{avawe ravenki so mnoèstva
Page 42 and 43:
Poslednoto neravenstvo e mo`no akko
Page 44 and 45:
Natamu }e razgleduvame specijalen v
Page 46 and 47:
7. ∇ M e refleksivna, simetri~na,
Page 48 and 49:
So M da go ozna~ime podmnoèstvoto
Page 50 and 51: (v) α,β∈A⇒α∩β∈A. ■ Pr
Page 52 and 53: (a) α e refleksivna akko ∆ A ⊆
Page 54 and 55: Primeri: x M f(x) N sl.1 1. Neka M
Page 56 and 57: 3.3 o Ako f:M→N e preslikuvawe i
Page 58 and 59: Primer: 1. Preslikuvaweto f od prim
Page 60 and 61: toga{ od (2.4.6) imame g 1 =h 1 , g
Page 62 and 63: 8. Neka f:A→B e preslikuvawe. Da
Page 64 and 65: Primer: 1. M={1,2,3,4,5,6}, N={a,b,
Page 66 and 67: (ii) A⊆B∧B⊆A⇒A=B, (iii) A
Page 68 and 69: Ako (M;α) e podredeno mnoèstvo, p
Page 70 and 71: 4. Vo koj slu~aj sekoj element od e
Page 72 and 73: Neka M e mreàta zadadena so sledno
Page 74 and 75: 10. Da se najdat site razli~ni (do
Page 76 and 77: Dokaz: ]e pokaème deka intervalot
Page 78 and 79: Najmal kardinalen broj na beskone~n
Page 80 and 81: Dokaz: Ako f e biekcija od A na C,
Page 82 and 83: α γ =β γ . (a) α β α γ =α
Page 84 and 85: Sega da dademe dokaz na prviot del
Page 86 and 87: Kardinalni broevi pridruùvame na m
Page 89 and 90: 3. VOVED VO MATEMATI^KATA LOGIKA Vo
Page 91 and 92: Edna formula e teorema akko se sost
Page 93 and 94: • mnoèstvoto formuli na L (Form
Page 95 and 96: Γ├− (A ⇒B i ) ⇒(A ⇒B j )
Page 97 and 98: (6) ¬B ⇒¬A (1,4,MP) (7) (¬B
Page 99: B' 1 ,...,B' k ├− C ' IIa. Neka
Page 103 and 104: Se dogovarame deka azbukata na ovaa
Page 105 and 106: Poimite za slobodno i vrzano pojavu
Page 107 and 108: x* y = x + y . III) D=R + , ϕ: A 1
Page 109 and 110: smetawe. Aksiomatskiot metod, koj{t
Page 111 and 112: 3.7. Svojstva na jazicite od prv re
Page 113 and 114: hipoteza na kontinuum, 5 ideal, 5 i
Page 115: simetri~na razlika, 5 simetri~na re
show all

voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?