voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

More documents

Recommendations

Info

$Fractional and operational calculus with generalized fractional ...$

$Numerical Methods Course Notes Version 0.1 (UCSD Math 174, Fall ...$

Dokaz: Ako f e biekcija od A na C, a g biekcija od B na D, toga{ h:A×B→C×D definirano so h(x,y)=(f(x),g(y)) e biekcija od A×B vo C×D. Neka A∩C=∅ i B∩D=∅ i neka U=A∪C, V=B∪D. Ako e x∈U, toga{ x mu pripa|a samo na edno od mnoèstvata A odnosno C, na primer na A, i toga{ stavame h * (x)=f(x), a ako e y∈C, toga{ h * (y)=g(y). Na toj na~in e definirana biekcija h od A∪C vo B∪D. ■ Koristej}i gi svojstvata na unijata i direktniot proizvod, se dobiva slednoto svojstvo: 11.2 o Mnoèweto i sobiraweto na kardinalni broevi se komutativni i asocijativni operacii. Pritoa mnoèweto e distributivno vo odnos na sobiraweto. ■ Stepenuvaweto na kardinalni broevi se definira so |X| |Y| =|X Y |, kade {to, kako i dosega, so X Y e ozna~eno mnoèstvoto preslikuvawa od Y vo X. 11.3 o (i) |X| |Y| ⋅|X| |Z| =|X| |Y|+|Z| ; (ii) (| | Y | ) | Z | | | Y X X || ⋅ Z = | ; (iii) |B(X)|=2 |X| . Dokaz: ]e go dokaème samo svojstvoto (iii). Treba da pokaème deka postoi biekcija od mnoèstvoto {0,1} X vo B(X). Neka e f∈{0,1} X , t.e. f e preslikuvawe od X vo {0,1}. So A da go ozna~ime podmnoèstvoto od X definirano so x∈A f ⇔f(x)=1. Ako f i g se razli~ni elementi od {0,1} X , toga{ }e imame f(a)≠g(a) za nekoj a∈X. Od toa sleduva deka i mnoèstvata A f i A g }e bidat razli~ni. Spored toa preslikuvaweto ϕ:faA f e injekcija. Neka e B⊆X. Definirame preslikuvawe h:X→{0,1} so: ⎧1, b ∈ B h( b) = ⎨ . ⎩0, b ∉ B Toga{ h e preslikuvawe od X vo {0,1}, pa ϕ e i surjekcija. ■ Da navedeme nekoi svojstva za sobirawe i mnoèwe na beskone~ni kardinalni broevi, od koi }e se vidi deka za niv ne vaàt zakonite za kratewe: 11.4 o ℵ +ℵ =ℵ =ℵ ⋅ℵ o o o o o. Dokaz: Prviot del od ravenstvoto sleduva od svojstvoto 9.3 o , t.e. deka unija od kone~no mnogu (vo ovoj slu~aj dve) prebroivi mnoèstva e prebroivo mnoèstvo. 80
Da stavime S=N×N, t.e. neka C e mnoèstvoto od site parovi prirodni broevi. So S k da go ozna~ime mnoèstvoto {(1,k),(2,k),...,(n,k),...}. Toga{ S=∪S k , t.e S moè da se pretstavi kako prebroiva unija od prebroivi mnoèstva, {to, povtorno od 9.3 o , go dava baraniot rezultat deka S e prebroivo mnoèstvo. ■ Obop{tuvawe na ovie svojstva moè da se dade na sledniov na~in. 11.5 o Ako γ e beskone~en kardinalen broj, toga{ α+γ=γ=γ⋅γ za proizvolen kardinalen broj α, takov {to α≤γ.■ Da zabeleìme deka dokaz na del od ova svojstvo }e dademe vo naredniot del. Spomnavme deka ℵ o e najmaliot beskone~en kardinalen broj. Potoa sleduvaat ℵ 1 ,ℵ 2 ,.... Se postavuva pra{aweto kade se nao|a vo ovaa niza kardinalniot broj c {to odgovara na mnoèstvoto realni broevi. Kantor ja dal slednava hipoteza na kontinuum: c=ℵ 1 . Gedel dokaàl deka ovaa hipoteza ne e protivre~na so standardnata teorija na mnoèstvata. Vo 1963 godina Koen dokaàl deka hipotezata ℵ 1
Page 1:
UNIVERZITET "SV. KIRIL I METODIJ" P
Page 4 and 5:
Na krajot od vtorata glava, po odde
Page 6 and 7:
2.11.1. Ve`bi 81 2.12. Lemata na Co
Page 8 and 9:
2'. Vo primerot 2 so tek na vreme b
Page 10 and 11:
1.2. Iskazi i iskazni formuli Matem
Page 12 and 13:
Da navedeme u{te primeri na atomarn
Page 14 and 15:
e~enicite (3),(4) i (6) se to~ni. S
Page 16 and 17:
iskazni bukvi (}e gi vikame i iskaz
Page 18 and 19:
x>3 i x
Page 20 and 21:
X=X; X⊆Y⇔(x∈X⇒x∈Y); X=Y
Page 22 and 23:
1.4. Tavtologii Iskazna formula koj
Page 24 and 25:
1. Opredeli dali slednive iskazni f
Page 26 and 27:
p r ¬ q ¬ r p r ¬ r ¬ q sl.1.4
Page 28 and 29:
2. x 1 x 2 x 3 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T
Page 30 and 31: mo`no, zatoa {to funkcijata na vist
Page 32 and 33: Dali {⇒,*} e generira~ko mnoèstv
Page 34 and 35: 6.14 o (i) X \ Y=∅ ⇔ X ⊆ Y; (
Page 36 and 37: (a) A ∩ (B+C) = (A ∩ B)+(A ∩
Page 38 and 39: (g) ( I Aj ) ∪( IBk ) ⊆ I( Aj
Page 40 and 41: 1.9. Re{avawe ravenki so mnoèstva
Page 42 and 43: Poslednoto neravenstvo e mo`no akko
Page 44 and 45: Natamu }e razgleduvame specijalen v
Page 46 and 47: 7. ∇ M e refleksivna, simetri~na,
Page 48 and 49: So M da go ozna~ime podmnoèstvoto
Page 50 and 51: (v) α,β∈A⇒α∩β∈A. ■ Pr
Page 52 and 53: (a) α e refleksivna akko ∆ A ⊆
Page 54 and 55: Primeri: x M f(x) N sl.1 1. Neka M
Page 56 and 57: 3.3 o Ako f:M→N e preslikuvawe i
Page 58 and 59: Primer: 1. Preslikuvaweto f od prim
Page 60 and 61: toga{ od (2.4.6) imame g 1 =h 1 , g
Page 62 and 63: 8. Neka f:A→B e preslikuvawe. Da
Page 64 and 65: Primer: 1. M={1,2,3,4,5,6}, N={a,b,
Page 66 and 67: (ii) A⊆B∧B⊆A⇒A=B, (iii) A
Page 68 and 69: Ako (M;α) e podredeno mnoèstvo, p
Page 70 and 71: 4. Vo koj slu~aj sekoj element od e
Page 72 and 73: Neka M e mreàta zadadena so sledno
Page 74 and 75: 10. Da se najdat site razli~ni (do
Page 76 and 77: Dokaz: ]e pokaème deka intervalot
Page 78 and 79: Najmal kardinalen broj na beskone~n
Page 82 and 83: α γ =β γ . (a) α β α γ =α
Page 84 and 85: Sega da dademe dokaz na prviot del
Page 86 and 87: Kardinalni broevi pridruùvame na m
Page 89 and 90: 3. VOVED VO MATEMATI^KATA LOGIKA Vo
Page 91 and 92: Edna formula e teorema akko se sost
Page 93 and 94: • mnoèstvoto formuli na L (Form
Page 95 and 96: Γ├− (A ⇒B i ) ⇒(A ⇒B j )
Page 97 and 98: (6) ¬B ⇒¬A (1,4,MP) (7) (¬B
Page 99 and 100: B' 1 ,...,B' k ├− C ' IIa. Neka
Page 101 and 102: ne e neprotivre~na. Zatoa neka ni A
Page 103 and 104: Se dogovarame deka azbukata na ovaa
Page 105 and 106: Poimite za slobodno i vrzano pojavu
Page 107 and 108: x* y = x + y . III) D=R + , ϕ: A 1
Page 109 and 110: smetawe. Aksiomatskiot metod, koj{t
Page 111 and 112: 3.7. Svojstva na jazicite od prv re
Page 113 and 114: hipoteza na kontinuum, 5 ideal, 5 i
Page 115: simetri~na razlika, 5 simetri~na re
show all

voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?