voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

(1) A ⇒((A ⇒A ) ⇒A ) (A1)
(2) (A ⇒((A ⇒A ) ⇒A )) ⇒((A ⇒(A ⇒A ))⇒(A ⇒A )) (A2)
(3) ((A ⇒(A ⇒A )) ⇒(A ⇒A )) (1,2,MP)
(4) A ⇒(A ⇒A ) (A1)
(5) (A ⇒A ) (3,4,MP)
Pritoa, formulata (1) e edna od aksiomite zadadena so {emata A1,
vo koja uloga na B igra formulata (A ⇒A ); formulata (2) e aksioma od
oblik A2, vo koja uloga na formulata B ima formulata (A ⇒A ), a na C
formulata A . Formulata (3) e dobiena od (1) i (2) so praviloto na
izveduvawe (modus ponens). ^etvrta formula vo nizata e formula od oblik
A1, vo koja uloga na B ima formulata A , a posledniot ~len od nizata e
dobien od (3) i (4) so pomo{ na praviloto za izveduvawe modus ponens.
(Da zabele`ime deka dokaz na teorema vo formalna teorija, pa i vo
iskaznoto smetawe kako eden primer na formalna teorija, ne mora da bide
ednozna~no opredelena niza formuli.) ■
2.2 o (Teorema za dedukcija). Neka Γ e mno`estvo formuli, A i B se
formuli. Toga{, Γ,A ├− B, akko Γ├− A ⇒B. Specijalno, A ├− B akko
├− A ⇒B.
Dokaz: Neka B 1 ,...,B n e dokaz na B od Γ∪{A }, kade {to B n = B. So
indukcija po i }e doka`eme deka Γ├− A ⇒B i , za sekoe 1≤i≤n.
Prvo, B 1 mora da bide ili formula od Γ ili aksioma ili A . Toga{,
od (A1), B 1 ⇒(A ⇒B 1 ) e aksioma vo L. Zna~i, vo prvite dva slu~ai Γ├− A ⇒
B 1 . Vo tretiot slu~aj, koga B 1 =A , imame ├− A ⇒B 1 , po tvrdewe 2.1 o , {to
zna~i deka e Γ├− A ⇒B 1 .
Da pretpostavime sega deka e Γ├− A ⇒B k , za sekoe k