voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

(a) (a,b)∈α⇔4|(a-b);
(b) m>0⇒((a,b)∈α m ⇔m| |a-b|);
(v) ((a,b),(c,d))∈β⇔a+d=b+c;
(g) ((a,b),(c,d))∈γ⇔(ad=bc ∧ b≠0, d≠0) ∨ (a=c, b=0, d=0).
Da se poka`e deka α, α m ,β i γ se ekvivalentnosti i da se najdat
faktor mno`estvata N/α m , N×N /β i N×N /γ .
20. Neka e A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} i α relacija vo A opredelena so:
α={(1,3),(3,1),(1,5),(5,3),(1,7),(7,1),(1,9),(2,4),(4,2)}.
Da se najde:
(a) tranzitivnoto zatvorawe α * ;
(b) najmalata ekvivalentnost β vo A {to ja sodr`i relacijata α,
t.e. relacijata β=α * ∩(α * ) −1 .
21. Da se poka`e deka:
(a) Tranzitivno pro{iruvawe na refleksivna relacija e
refleksivna relacija.
(b) Tranzitivno pro{iruvawe na simetri~na relacija e
simetri~na relacija.
22. Neka e α⊆A×A i neka β=α∪α −1 ∪∆ A .
Ako β * e tranzitivnoto pro{iruvawe na β, toga{:
(a) α⊆β ∗ ,
(b) β ∗ e ekvivalentnost vo A,
(v) β ∗ e minimalnata ekvivalentnost vo A {to ja sodr`i α.
Doka`i!
2.3. Preslikuvawa
Neka M i N se dve neprazni mno`estva i neka f e korespondencija od
M vo N, {to gi zadovoluva slednive uslovi:
(∀a∈M)(∃b∈N)(a,b)∈f;
(a ,b 1 ),(a ,b 2 )∈f ⇒b 1 =b 2 .
Velime deka f e preslikuvawe od M vo N i pi{uvame f:M→N, ili
f
M ⎯ ⎯→ N .
Za b velime deka e slika na a i pi{uvame b=f(a), ili f:aab, ili pak
f
aa b . Mno`estvoto M go vikame domen, a N kodomen na preslikuvaweto f.
Zna~i, f e preslikuvawe so domen M i kodomen N akko
(∀x∈M)(∃!y∈N)y= f(x), (2.3.1)
kade {to ∃! ozna~uva egzistencija na ednozna~no opredelen element y od N.
Za dve preslikuvawa f i g velime deka se ednakvi ako imaat ednakvi
domeni i kodomeni i ako
(∀x∈M)f(x)=g(x). (2.3.2)
53