voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

Neka M e mre`ata zadadena so slednovo podreduvawe:
a
b
c
d
.
e
Toga{ A e podmre`a od M, no B ne e, iako B vo odnos na induciranoto
podreduvawe od M e mre`a. Zna~i, edna mre`a ne mora da bide podmre`a od
druga mre`a.
Ako M e podredeno mno`estvo so podreduvawe ≤, toga{ dolen
segment na M e podmno`estvo A od M takvo {to
a∈A, m∈M, m≤a⇒m∈A. (2.8.2)
8.1 o Mno`estvoto dolni segmenti na mre`ata M e mre`a, pri {to
sup{A,B}=A∪B, inf{A,B}=A∩B. ■
Ako M e mre`a, toga{ za dolniot segment A na M {to e zatvoren vo
odnos na supremum velime deka e ideal na M. Zna~i, dolniot segment A na
mre`ata M e ideal na M akko
a,b∈A⇒sup M {a,b}∈A.
Vo natamo{niot tekst namesto sup M {a,b} }e pi{uvame a∨b, a namesto
inf M {a,b}, a∧b.
8.2 o Sekoja kone~na mre`a ima i najgolem i najmal element. ■
Za edno podredeno mno`estvo (M;≤) velime deka e kompletna mre`a
ako sekoe podmno`estvo A od M ima i supremum i infimum vo M.
8.3 o Sekoja kone~na mre`a e kompletna. ■
Primer:
5. Mno`estvoto realni broevi R so voobi~aenoto podreduvawe e
mre`a, no ne e kompletna mre`a. Imeno, koe bilo dvoelementno
podmno`estvo ima i supremum i infimum, no celoto mno`estvo R nema ni
supremum ni infimum.
8.4 o Neka M e kompletna mre`a i f:M→M e preslikuvawe {to go
zapazuva podreduvaweto, t.e. a≤b⇒f(a)≤f(b).
Toga{:
(i) A={x|x∈M,x≤f(x)}≠∅.
(ii) Ako a=supA, toga{ f(a)=a.
72