voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

3.1 o Ako f:M→N, g:N→K, h:K→T se preslikuvawa, toga{
h(gf)=(hg)f.
Dokaz: Jasno e deka h(gf) i (hg)f imaat ist domen M i kodomen T. Neka
x∈M. Toga{
(h(gf))(x)=h((gf)(x))=h(g(f(x))), ((hg)f)(x)=(hg)(f(x))=h(g(f(x))). ■
Mno`estvoto od site preslikuvawa so domen M i kodomen N se
ozna~uva so N M . Za M M velime deka e mno`estvoto transformacii na M.
Primer:
4. Ako se A={1,2,3}, B={a,b}, toga{
B ⎪⎧
⎛a
b⎞
⎛a
b⎞
⎛a
b⎞
⎛a
b⎞
⎛a
b⎞
⎛a
b⎞
⎛a
b⎞
⎛a
b⎞
⎛a
b⎞⎪⎫
A = ⎨
⎜ , , , , , , , , ⎬;
⎪⎩ 1 1
⎟
⎜
1 2
⎟
⎜
1 3
⎟
⎜
2 1
⎟
⎜
2 2
⎟
⎜
2 3
⎟
⎜
3 1
⎟
⎜
3 2
⎟
⎜
3 3
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎭
B
B
⎪⎧
⎛ a b⎞
⎛a
b⎞
⎛a
b⎞
⎛a
b⎞
, , ,
⎪ ⎫
= ⎨
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎬.
⎪⎩ ⎝a
a⎠
⎝a
b⎠
⎝b
a⎠
⎝b
b⎠⎪⎭
M so:
Za sekoe neprazno mno`estvo M definirame transformacija 1 M na
(∀x∈M)1 M (x)=x. (2.3.4)
Za 1 M velime deka e identi~na transformacija na M.
3.2 o Neka f:M→N e preslikuvawe. Toga{:
(i) f1 M =f;
(ii) 1 N f=f.
Dokaz: (i) f1 M e definirano preslikuvawe od M vo N. Pritoa, za
sekoj x∈M imame:
(f1 M )(x)=f(1 M (x))=f(x). ■
Za sekoe preslikuvawe f:M→N i za sekoe podmno`estvo A od M
mo`eme da definirame preslikuvawe f A :A→N. Imeno, stavaj}i
(∀x∈A)f A (x)=f(x), (2.3.4)
dobivame preslikuvawe za koe velime deka e restrikcija na f nad A, a za f
velime deka e pro{iruvawe na f A . Za f A ~esto se koristi i oznakata f /A .
Podmno`estvoto {y|(∃x∈A)f(x)=y} od N go ozna~uvame so f(A) i go
vikame mno`estvo sliki na A pri f. ^estopati }e pi{uvame
f(A)={f(x)|x∈A}. (2.3.5)
Specijalno, za A=M, f(M) se vika opseg na f.
Neka e B⊆N. So f −1 (B) go ozna~uvame mno`estvoto od site elementi
od M {to imaat slika vo B, t.e.
f −1 (B)={x|x∈M∧f(x)∈B}. (2.3.6)
Mno`estvoto f −1 (B) go vikame inverzna slika na V pri f.
55