voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

Dokaz: Neka e a,b∈M. Toga{ A={a,b} e podmno`estvo od M i ima
najmal element. Ako a e najmal element na A, toga{ a≤b, vo sprotivno b≤a. ■
Za elementot m od podredenoto mno`estvo (M;≤) velime deka e
minimalen vo M ako
(∀a∈M) (a≤m⇒a=m). (2.7.7)
Za elementot m od podredenoto mno`estvo (M;≤) velime deka e
maksimalen vo M ako
(∀a∈M) (a≥m⇒a=m). (2.7.8)
Da zabele`ime deka ako vo edno podredeno mno`estvo (M;≤) ima
najmal (najgolem) element, toga{ toj e minimalen (maksimalen), no edno
podredeno mno`estvo mo`e da ima pove}e minimalni (maksimalni)
elementi.
Primer:
9. Neka M={1,2,3,4,5,6} e podredeno mno`estvo so podreduvawe
zadadeno grafi~ki so
1 2 3
4 5 6
Podredenovo mno`estvo (M;≤) nema ni najmal ni najgolem element.
Minimalni se 4, 5 i 6, a maksimalni 1, 2, 3 i 6.
2.7.1.Ve`bi:
1. Vo mno`estvoto N definirame relacija ≤ so
x≤y⇔(∃z∈N)y=xz.
Da se poka`e deka ≤ e delumno podreduvawe na N.
2. Da se pretstavat so Haseov dijagram slednive podredeni
mno`estva:
(a) (B(A),⊆), kade {to A={a,b,c};
(b) (A,α), kade {to A={a,b,c,d,e}, a
α=∆ A ∪{(a,b).(a,c),(b,c),(a,d),(a,e),(d,e)};
(v) (B(B),⊆), kade {to B={a,b,c,d}.
3. Neka α e podreduvawe na mno`estvoto M i A⊆M. Neka β=α∩(A×A).
Da se poka`e deka
(a) β e podreduvawe na A.
(b) Ako α e linearno, toga{ i β e linearno podreduvawe na A.
(v) Poka`i so primer deka obratnata implikacija od (b) ne mora
da va`i.
69