voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

Edinstveno pravilo za izveduvawe e modus ponens.
L 3 : Ovaa teorija ima ista azbuka kako i L. Se razlikuva edinstveno
po {emite aksiomi. Ovaa teorija sodr`i tri odredeni aksiomi:
A⇒ (B⇒ A) (A 3 1)
(A⇒ (B⇒ C)) ⇒ ((A⇒ B) ⇒ (A⇒ C)) (A 3 2)
(¬B⇒ ¬A) ⇒ ((¬B ⇒ A) ⇒ B) (A 3 3)
Pravila za izveduvawe se modus ponens i pravilo na supstitucija,
t.e. dadena iskazna promenliva mo`eme da zamenime so iskazna formula, i
toa na site mesta na koi taa se pojavuva vo dadenata iskazna formula.
L 4 : Osnovni svranici se ⇒ , ∧ , ∨ , i ¬. Modus ponens e edinstveno
pravilo za izveduvawe, a aksiomite se zadadeni so slednive {emi aksiomi:
A ⇒ (B ⇒ A ) (A 4 1)
(A ⇒ (B ⇒ C )) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C )) (A 4 2)
(A ∧ B) ⇒ A (A 4 3)
(A ∧ B) ⇒ B (A 4 4)
A ⇒ (B ⇒ (A ∧ B)) (A 4 5)
A ⇒ (A ∨ B) (A 4 6)
B ⇒ (A ∨ B) (A 4 7)
(A ⇒ C ) ⇒ ((B ⇒ C ) ⇒ (A ∨ B ⇒ C )) (A 4 8)
(A ⇒ B) ⇒ ((A ⇒ ¬B) ⇒ ¬C ) (A 4 9)
¬¬A ⇒ A (A 4 10)
Kako i obi~no, i tuka definirame A⇔B da bide (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A ).
3.4. Teorija na kvantifikatori
Za formalizacija na matemati~kite teorii ne ni e dovolno samo
iskaznoto smetawe. Razlogot e vo toa {to vo matematikata obi~no imame
mno`estvo objekti i ispituvame razli~ni relacii pome|u tie objekti. Taka,
nekoi objekti mo`at da bidat vo relacija, a nekoi ne, ili pak site objekti
da bidat vo relacija. Za taa cel gi koristime kvantifikatorite (ili
kvantorite), za koi zboruvavme i vo prvata glava. Kako i kaj iskaznoto
smetawe, kade {to logi~kite zaklu~uvawa zavisea od svrznicite, i vo ovoj
slu~aj }e izgradime teorija vo koja{to logi~kite zaklu~uvawa }e zavisat od
svrznicite, no i od kvantifikatorite. Ovaa teorija }e ja bele`ime so K i
}e ja vikame teorija na kvantornoto smetawe. Vo nea, pokraj tavtologiite,
teoremi }e bidat to~no "logi~ki to~nite" formuli.
Prvo }e go definirame jazikot, odnosno osnovnite znaci i simboli
so ~ija pomo{ }e gradime termi i re~enici (formuli) vo teorijata K.
124