voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

Ostanuva da doka`eme deka M /α =π. Neka e A∈π. Bidej}i A≠∅, postoi
x∈M takov {to x∈A. Zatoa, za da doka`eme deka M /α =π, dovolno e da
doka`eme deka x∈A⇒x α =A.
y∈x α ⇔xαy⇔x,y∈A⇔y∈A. ■ (2.2.5)
Da razgledame u{te nekoi svojstva na nekoi vidovi relacii.
2.6 o α∈S⇔α=α −1 .
Dokaz: Neka α e simetri~na relacija. Toga{
(x,y)∈α⇔(y,x)∈α⇔(x,y)∈α −1 , t.e. α=α −1 .
Obratno, neka α=α −1 i neka (x,y)∈α. Toga{ (x,y)∈α −1 ⇒(y,x)∈α, t.e. α e
simetri~na relacija. ■
2.7 o α∈T⇔αα⊆α.
Dokaz: Neka α e tranzitivna relacija. Toga{
xααy⇒(∃z∈M)(xαz, zαy)⇒(∃z∈M)xαy.
Zna~i, αα⊆α.
Obratno, neka e αα⊆α. Toga{
xαy∧yαz ⇒xααz ⇒xαz,
{to zna~i deka α e tranzitivna relacija. ■
2.8 o α⊆β⇔α −1 ⊆β −1 .■
2.9 o Ako α e (a) simetri~na, (b) refleksivna, (v) nerefleksivna, (g)
antisimetri~na, (d) tranzitivna relacija, toga{ soodvetnoto svojstvo go
ima i α −1 .
Dokaz: ]e go doka`eme samo tvrdeweto pod (d). Neka α e tranzitivna
relacija, t.e. αα⊆α. Toga{
α −1 α −1 =(αα) −1 ⊆α −1 . ■
2.10 o α 1 ⊆α 2 ,β 1 ⊆β 2 ⇒α 1 β 1 ⇒α 2 β 2 . ■
2.11 o Neka e α⊆M×M. Toga{
(i) α,β∈R⇒αβ∈R;
(ii) α,β∈S∧αβ=βα⇒αβ∈S;
(iii) α,β∈T∧αβ=βα⇒αβ∈T.
Dokaz: (ii) αβ=α −1 β −1 =(βα) −1 =(αβ) −1 .
(iii) (αβ)(αβ)=α(βα)β=α(αβ)β=(αα)(ββ)⊆αβ.■
2.12 o (i) α,β∈R⇒α∩β∈R, α∪β∈R;
(ii) α,β∈S⇒α∩β∈S, α∪β∈S;
(iii) α,β∈AR⇒α∩β∈AR, α∪β∈AR;
(iv) α,β∈T⇒α∩β∈T;
49