voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

Kako {to spomnavme na po~etokot od ovoj del, formalnata teorija L
ja definirame so cel teoremi da bidat to~no tavtologiite. So narednive
nekolku svojstva }e doka`eme deka iskaznoto smetawe e formalna teorija
{to gi zadovoluva na{ite barawa, t.e. }e ja doka`eme takanare~enata teorema
za kompletnost koja tvrdi deka edna formula vo iskaznoto smetawe e
teorema ako i samo ako e tavtologija.
2.5 o Sekoja teorema vo teorijata L e tavtologija.
Dokaz: So direktna proverka, koristej}i go praviloto za zamena
(1.4.2 o ), lesno se proveruva deka sekoja aksioma e tavtologija, a od 1.4.1 o deka
so praviloto MP od tavtologii se dobivaat tavtologii. ■
2.6 o (Lema). Neka A e iskazna formula, a B 1 ,...,B k iskaznite bukvi
{to se pojavuvaat vo formulata A . Za dadeni vrednosti na vistinitost
pridru`eni na B 1 ,...,B k , neka B' i bide B i , ako B i ima vrednost T, a ¬B i ako B
ima vrednost ⊥. Neka A ' e A ako A dobiva vrednost T, a ¬A ako A dobiva
vrednost ⊥ za pridru`enite vrednosti na vistinitost na iskaznite
promenlivi. Toga{
B' 1 ,...,B' k ├− A '.
Dokaz: Dokazot }e go sprovedeme so indukcija po brojot n na
osnovnite svrznici vo A (pritoa pretpostavuvame deka formulata A e
zapi{ana bez skrateni oznaki za nekoi formuli). Ako n=0, toga{ A se
sostoi samo od iskazna bukva B i tvrdeweto se reducira na B 1 ├− B 1 , odnosno
¬B 1 ├− ¬B 1 .
Da pretpostavime deka lemata va`i za sekoj broj j