voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

• Form e neprazno podmno`estvo od A + (mno`estvo zborovi), takvo
{to postoi algoritam koj{to odlu~uva dali eden zbor e element od Form.
Elementite na Form gi vikame formuli.
• Ax e neprazno podmno`estvo od Form. Negovite elementi gi
vikame aksiomi. Ako postoi algoritam koj{to odreduva dali edna formula
e aksioma, toga{ velime deka teorijata T e aksiomatska.
• R e neprazno mno`estvo od pravila za izveduvawe, pri {to
pravilo za izveduvawe e niza formuli A 1 , ..., A n , n≥1. Obi~no pravilata za
A1
, . . . , An
− 1
izveduvawe se zapi{uvaat vo oblik
, i za A
A
n velime
n
deka e direktna posledica od A 1 ,...,A n-1 .
Za sekoja kone~na niza formuli A 1 ,...,A n , pri {to za sekoj i va`i
barem eden od slednive uslovi:
A i e aksioma,
ili
A i e dobiena od nekoi od prethodnite formuli A 1 ,...,A i–1 so nekoe
od pravilata za izveduvawe,
velime deka e dokaz vo formalnata teorija T.
Za formulata A velime deka e teorema vo T ako postoi takov dokaz
vo T {to poslednata formula A n od dokazot e to~no formulataA. Toga{
pi{uvame ├− T A. Ako e jasno za koja teorija stanuva zbor, pi{uvame samo
├− A.
1.1 o Neka T e formalna teorija. Toga{ sekoja aksioma od T e teorema.
Dokaz: Neka α e aksioma. Toga{ nizata {to se sostoi samo od α e
dokaz na α.■
Primeri:
5. A={a,b}, Form=A + ⎧ α ⎫
, Ax={a}, R= ⎨ ; α ∈ Form⎬
. Vo ovaa teorija edna
⎩bα
⎭
teorema e formulata bbba so dokaz a,ba,bba,bbba .
Ako b n e kratenka za b { ... , a b o e prazniot zbor (zbor {to ne sodr`i
b
n
ni edna bukva), toga{ za ovaa formalna teorija va`i slednoto tvrdewe:
Edna formula e teorema akko ima oblik b k a, za k≥0.
6. A={|}, Form=A + , Ax={||}, R={α/α| ; α∈Form}.
So slednoto tvrdewe daden e opis na teoremite vo ovaa formalna
teorija:
112