voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

6.14 o (i) X \ Y=∅ ⇔ X ⊆ Y;
(ii) X \ Y=X ⇔ X ∩ Y=∅.
Dokaz: (i) Neka X \ Y=∅, i neka x∈X. Toga{ od definicijata na
razlika na mno`estva i faktot deka x∉X \ Y, dobivame deka x∈Y, t.e. X ⊆ Y.
Obratno, neka X ⊆ Y. Koga bi postoel element x∈X \ Y, toga{ bi
imale x∈X i x∉Y, {to protivre~i na uslovot X⊆Y.■
6.15 o x∉X \ Y ⇔ x∉X ∨ x∈Y.■
6.16 o X⊆Y ⇒ X=Y \ (Y \ X).■
6.17 o (i) X \ (Y ∪ Z)=(X \ Y) ∩ (X \ Z);
(ii) X \ (Y ∩ Z)=(X \ Y) ∪ (X \ Z).
Dokaz: (i) x∈X \ (Y ∪ Z) ⇔ x∈X ∧ x∉(Y ∪ Z) ⇔ x∈X ∧ x∉Y ∧ x∉Z ⇔
⇔ x∈X ∧ x∉Y ∧ x∈X ∧ x∉Z ⇔ x∈(X \ Y) ∩ (X \ Z). ■
Da definirame u{te edna operacija so mno`estva. Simetri~na
razlika M + N (ili M∆ N) na mno`estvata M i N se definira so slednovo
ravenstvo:
M+N=(M ∪ N) \ (M ∩ N). (1.6.4)
6.18 o M+N se sostoi od elementite {to pripa|aat na edno i samo
edno od mno`estvata M, N. ■
6.19 o X+Y=Y+X. ■
6.20 o (i) X+X=∅;
(ii) X+∅=X. ■
Ako X⊆M, toga{ mno`estvoto elementi od M {to ne se vo X se vika
komplement na X vo M i se ozna~uva so X' M , ili samo so X' dokolku znaeme vo
koe mno`estvo M se bara komplement na mno`estvoto X, t.e. mno`estvoto M
go smetame za fiksno, univerzalno mno`estvo. Spored toa:
X'=M \ X. (1.6.5)
6.21 o (De Morganovi teoremi)
(i) (X')' = X;
(ii) (Y ∪ Z)' = Y' ∩ Z';
(iii) (Y ∩ Z)' = Y' ∪ Z';
(iv) X ⊆ Y ⇔ Y' ⊆ X'.
Dokaz: (i) (X')' = M \ (M \ X) = X.
(ii) (Y ∪ Z)' = M \ (Y ∪ Z) = (M \ Y) ∩ (M \ Z) =Y' ∩ Z'.
(iv) Y' = M \ Y⊂ M \ X = X'. ■
34