voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

(3) Eden izraz e formula akko mo`e da se dobie so kone~na primena
na pravilata (1) i (2).
Da zabele`ime deka vo formulata ((∀x)A ), x ne mora da bide
promenliva {to se pojavuva vo A . Ako promenlivata x ne se pojavuva vo A,
toga{ smetame deka ((∀x)A )) ima isto zna~ewe kako i A . Formulata A vo
izrazot ((∀x)A )) velime deka e pole na vlijanie na kvantifikatorot (∀x).
Izrazite A ∧ B, A ∨ B, A ⇔ B se definiraat kako i vo teorijata L,
kako skrateni oznaki na izrazi dobieni so pomo{ na osnovnite logi~ki
svrznici.
Ne e neophodno voveduvawe na egzistencijalen kvantifikator,
bidej}i mo`eme da go definirame so pomo{ na negacijata i univerzalniot
kvantifikator na sledniov na~in:
(∃x)A e skratena formula za ¬((∀x)(¬A )).
Pravilata za osloboduvawe od zagradi se koristat i vo ovoj slu~aj,
so toa {to univerzalniot i egzistencijalniot kvantifikator se podredeni
me|u ⇔ , ⇒ , i ∨ , ∧ , ¬. Isto taka, ako se pojavuvaat pove}e kvantifikatori
eden po drug, zagradite se izostavuvaat.
Primeri:
1. Da se napi{at slednite formuli so site zagradi:
(a) (∀x 1 ) A 1 1
(x 1 ) ⇒ A 2 1
(x 1 , x 2 );
odgovor: (((∀x 1 ) A 1 1
(x 1 )) ⇒ ( A 2 1
(x 1 , x 2 )));
(b) (∀x 1 ) A 1 1
(x 1 ) ∨ A 2 1
(x 1 ,x 2 );
odgovor: (((∀x 1 ) A 1 1
(x 1 )) ∨ ( A 2 1
(x 1 ,x 2 )));
(v) (∀x 1 )¬ A 2 1
(x 1 ,x 2 )⇒ A 3 2
(x 1 ,x 1 ,x 2 ) ∨ (∀x 1 ) A 1 2
(x 1 );
odgovor: (((∀x 1 )(¬ A 2 1
(x 1 ,x 2 )))⇒(( A 3 2
(x 1 ,x 1 ,x 2 )) ∨( (∀x 1 ) A 1 2
(x 1 ))));
(g) ¬(∀x 1 ) A 1 1
(x 1 ) ⇒(∃x 2 ) A 1 2
(x 2 ) ⇒ A 2 1
(x 1 ,x 2 ) ∨ A 1 1
(x 2 );
1
1
2
odgovor: ((((¬(∀x 1 )) A 1
(x 1 )) ⇒((∃x 2 ) A 2
(x 2 ))) ⇒( A 1
(x 1 ,x 2 )
∨ A 1 1
(x 2 )));
(d) (∀x 1 )(∃x 2 )(∀x 4 ) A 3 1
(x 1 , x 2 , x 4 );
odgovor: ((∀x 1 )((∃x 2 )((∀x 4 ) A 3 1
(x 1 , x 2 , x 4 ))));
(|) (∀x 1 )(∃x 3 )(∀x 4 ) A 1 1
(x 1 ) ⇒ A 1 2
(x 3 ) ∧¬ A 1 1
(x 1 );
odgovor: (((∀x 1 )((∃x 3 )((∀x 4 ) A 1 1
(x 1 ))) ⇒( A 1 2
(x 3 ) ∧(¬ A 1 1
(x 1 ))));
(e) (∃x 1 )(∀x 2 )(∃x 3 ) A 1 1
(x 1 ) ∨ (∃x 2 )¬(∀x 3 ) A 2 1
(x 3 , x 2 );
odgovor: ((∃x 1 )((∀x 2 )((∃x 3 )(( A 1 1
(x 1 ) ∨ ((∃x 2 )(¬(∀x 3 ) A 2 1
(x 3 , x 2 ))))))).
126