voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

ne e neprotivre~na. Zatoa neka ni A ni ¬A ne se tavtologii. Toga{
postojat vrednosti na promenlivite a 1 ,...,a n {to se pojavuvaat vo A (da
re~eme σ 1 ,...,σ n ) za koi formulata A prima vrednost ⊥. Neka B e formula
dobiena od A , taka {to a i se zamenuva so formulata (p⇒p) ako a i e T, a so
¬(p⇒p), ako a i e ⊥. Proveri deka B e kontradikcija vo L i istovremeno B e
aksioma vo L + , pa i B i ¬B se teoremi vo L + .)
4. Da se proveri dali se to~ni tvrdewata:
(a) ¬A ,A ├− B;
(b) A ⇔B,A ├− B;
(v) A ⇒B, B ⇒A ├− A ⇔B;
(g) A ∧ B,¬A ⇒B ├− ¬B;
(d) A ⇒B, C ⇒D,A ∨ C ├− B ∧ D.
5. Da se poka`e deka
A ∨ B ⇒C ∧ D, C ∨E ⇒F├− A ⇒F
6. Da se poka`e deka za sekoj priroden broj n pogolem od 1 e to~no
deka ├− A n , kade {to A n e formulata
(p o ⇒p 1 )⇒((p 1 ⇒p 2 )⇒(...((p n-1 ⇒p n )⇒(p o ⇒p n )))...).
3.3. Drugi aksiomatizacii na iskaznoto smetawe.
Za iskaznoto smetawe mo`at da se najdat i drugi sistemi aksiomi
koi{to }e go dadat istiot rezultat. ]e dademe nekolku primeri na formalni
teorii na iskaznoto smetawe, pri {to }e koristime mno`estvo svrznici
od koe{to mo`at da se izvedat site drugi osnovni svrznici na iskaznoto
smetawe.
L 1 : ∨ , ¬ se osnovni svrznici.
(Koristime A ⇒ B kako skratena oznaka za ¬A ∨ B.)
Mno`estvoto formuli se definira kako i porano.
Imame ~etiri {emi aksiomi:
A ∨ A ⇒ A (A 1 1)
A ⇒ (A ∨ B) (A 1 2)
A ∨ B ⇒ B ∨ A (A 1 3)
(B ⇒ C ) ⇒ (A ∨ B ⇒ A ∨ C ) (A 1 4)
Edinstveno pravilo za izveduvawe e modus ponens.
L 2 : ∧ ,¬ se osnovni svrznici. A ⇒ B e kratenka za ¬(A ∧ ¬B). Ima
tri {emi aksiomi:
A ⇒ (A ∧ A ) (A 2 1)
A ∧ B ⇒ A (A 2 2)
(A ⇒ B) ⇒ (¬(B ∧ C ) ⇒ ¬(C ∧ A )) (A 2 3)
123