voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

(v) α,β∈A⇒α∩β∈A. ■
Primeri:
15. M={1,2}, α={(1,2)}, β={(2,1)}, α∪β={(1,2),(2,1)}. α,β se
antisimetri~ni i tranzitivni relacii, no α∪β ne e ni antisimetri~na ni
tranzitivna relacija.
16. M={0,1,2,3,4,5},α={(1,2),(3,4)},β={(2,3),(4,5)},
α∪β={(1,2),(3,4),(2,3),(4,5)}.
Vo ovoj slu~aj α,β∈T, no α∪β∉T.
17. δ={(1,2),(2,1)}, γ={(2,3),(3,2)} se simetri~ni relacii, no δγ≠γδ, pa
δγ={(1,3)} ne e simetri~na relacija.
18. ε={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)} e antisimetri~na relacija, no εε=ε 2
={(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)} ne e antisimetri~na relacija.
19. θ={((1,2),(2,1)} e nerefleksivna relacija, no θ 2 ={(1,1),(2,2)} ne e
antirefleksivna relacija.
20. M={1,2,3,4}, α={(1,2),(3,4)}, β={(2,3),(4,4)} se tranzitivni relacii,
αβ≠βα, pa αβ={(1,3),(3,4)} ne e tranzitivna relacija.
Neka α e relacija na mno`estvoto M. Za sekoj priroden broj n
induktivno definirame stepen α n na relacijata α na sledniov na~in:
(i) α o =∆ M ; α 1 =α;
(ii) Ako za nekoj priroden broj k e definiran stepenot α k , toga{
α k+1 =α k α.
2.13 o aα n b⇔(∃c o ,c 1 ,...,c n ∈M)(a=c o ,b=c n , c i αc i+1 , i=0,n-1),
{to pokratko mo`e da se zapi{e i na sledniov na~in
aα n b⇔(∃c o ,c 1 ,...,c n ∈M)(a=c o αc 1 α...α c n-1 αc n =b).
Dokaz: Dokazot }e go sprovedeme so indukcija po stepenot n. Imeno,
za n=0 ili n=1 imame
aα o b⇔(∃c o ∈M)((a=c o ∆ M c o = b)⇒a=b),
aα 1 b⇔(∃c o ,c 1 ∈M)(a=c o αc 1 =b).
Zna~i, za n=0 i n=1 tvrdeweto e to~no. Neka toa e to~no do nekoj priroden
broj k≥1. Toga{
aα k+1 b⇔aα k αb⇔(∃c k ∈M)(aα k c k αb)⇔(∃c 1 ,...,c k ∈M)(aαc 1 α...αc k αb).
Zna~i, postojat a,c 1 ,...,c k ,b∈M so baranite svojstva, {to i treba{e da
se doka`e. ■
2.14 o Ako α e tranzitivna (refleksivna, simetri~na) relacija,
toga{ za sekoj priroden broj n i α n e tranzitivna (refleksivna,
simetri~na) relacija, soodvetno.
Dokaz: Neka α e tranzitivna relacija, t.e. αα⊆α. Toga{
α n α n =α 2n =(α 2 ) n ⊆α n ,
{to e ekvivalentno so α n e tranzitivna relacija. ■
50