voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

More documents

Recommendations

Info

$Fractional and operational calculus with generalized fractional ...$

$Numerical Methods Course Notes Version 0.1 (UCSD Math 174, Fall ...$

Ako (M;α) e podredeno mnoèstvo, pri {to α e linearno podreduvawe, toga{ za (M;α) velime deka e veriga (ili linearno podredeno mnoèstvo). Primeri: 4. (Z;≤), (N;≤), (R;≤) se verigi. 5. Ako M ima barem dva elementa a, b, a≠b, toga{ (B(M);⊆) ne e veriga. Imeno ¬({a}⊆{b}). Neka (M;≤) e podredeno mnoèstvo i A⊆M. Za elementot b∈M velime deka e majorant (gorna granica, desna granica) na A akko (∀x∈A) x≤a. (2.7.3) Za elementot a∈M velime deka e minorant (dolna granica, leva granica) na A akko (∀x∈A) a≤x. (2.7.4) Ako postoi element b∈M takov {to (∀x∈M) x≤b, (2.7.5) toga{ za b velime deka e najgolem element vo M. Ako pak postoi element a∈M so svojstvoto (∀x∈M) a≤x, (2.7.6) toga{ za a velime deka e najmal element vo M. Najmaliot majorant na A vo M, ako postoi, se vika supremum na A vo M i se beleì so sup M A, a najgolemiot minorant na A vo M, ako postoi, se vika infimum na A vo M i se beleì so inf M A. Da zabeleìme deka ako A e podmnoèstvo od podredenoto mnoèstvo M i A ima najmal (najgolem) element a ,toga{ inf M A=a (sup M A=a). 7.3 o Edno podmnoèstvo A od podredenoto mnoèstvo (M;≤) ima najmnogu eden najgolem element i najmnogu eden najmal element. Dokaz: Neka a i b se najgolemi elementi na A. Toga{ od toa {to a e najgolem imame b≤a, a od toa {to b e najgolem imame a≤b. Natamu, poradi antisimetri~nosta na podreduvaweto, dobivame deka a=b. ■ Za edno podredeno mnoèstvo (M;≤) velime deka e dobro podredeno ako sekoe neprazno podmnoèstvo na M ima najmal element. Primeri: 6. (N;≤) e dobro podredena veriga. 7. (Q;≤) e veriga, no ne e dobro podredeno mnoèstvo. 8. (R;≤) e veriga, no ne e dobro podredeno podmnoèstvo. 7.4 o Sekoe dobro podredeno mnoèstvo (M;≤) e veriga. 68
Dokaz: Neka e a,b∈M. Toga{ A={a,b} e podmnoèstvo od M i ima najmal element. Ako a e najmal element na A, toga{ a≤b, vo sprotivno b≤a. ■ Za elementot m od podredenoto mnoèstvo (M;≤) velime deka e minimalen vo M ako (∀a∈M) (a≤m⇒a=m). (2.7.7) Za elementot m od podredenoto mnoèstvo (M;≤) velime deka e maksimalen vo M ako (∀a∈M) (a≥m⇒a=m). (2.7.8) Da zabeleìme deka ako vo edno podredeno mnoèstvo (M;≤) ima najmal (najgolem) element, toga{ toj e minimalen (maksimalen), no edno podredeno mnoèstvo moè da ima pove}e minimalni (maksimalni) elementi. Primer: 9. Neka M={1,2,3,4,5,6} e podredeno mnoèstvo so podreduvawe zadadeno grafi~ki so 1 2 3 4 5 6 Podredenovo mnoèstvo (M;≤) nema ni najmal ni najgolem element. Minimalni se 4, 5 i 6, a maksimalni 1, 2, 3 i 6. 2.7.1.Ve`bi: 1. Vo mnoèstvoto N definirame relacija ≤ so x≤y⇔(∃z∈N)y=xz. Da se pokaè deka ≤ e delumno podreduvawe na N. 2. Da se pretstavat so Haseov dijagram slednive podredeni mnoèstva: (a) (B(A),⊆), kade {to A={a,b,c}; (b) (A,α), kade {to A={a,b,c,d,e}, a α=∆ A ∪{(a,b).(a,c),(b,c),(a,d),(a,e),(d,e)}; (v) (B(B),⊆), kade {to B={a,b,c,d}. 3. Neka α e podreduvawe na mnoèstvoto M i A⊆M. Neka β=α∩(A×A). Da se pokaè deka (a) β e podreduvawe na A. (b) Ako α e linearno, toga{ i β e linearno podreduvawe na A. (v) Pokaì so primer deka obratnata implikacija od (b) ne mora da vaì. 69
Page 1:
UNIVERZITET "SV. KIRIL I METODIJ" P
Page 4 and 5:
Na krajot od vtorata glava, po odde
Page 6 and 7:
2.11.1. Ve`bi 81 2.12. Lemata na Co
Page 8 and 9:
2'. Vo primerot 2 so tek na vreme b
Page 10 and 11:
1.2. Iskazi i iskazni formuli Matem
Page 12 and 13:
Da navedeme u{te primeri na atomarn
Page 14 and 15:
e~enicite (3),(4) i (6) se to~ni. S
Page 16 and 17:
iskazni bukvi (}e gi vikame i iskaz
Page 18 and 19: x>3 i x
Page 20 and 21: X=X; X⊆Y⇔(x∈X⇒x∈Y); X=Y
Page 22 and 23: 1.4. Tavtologii Iskazna formula koj
Page 24 and 25: 1. Opredeli dali slednive iskazni f
Page 26 and 27: p r ¬ q ¬ r p r ¬ r ¬ q sl.1.4
Page 28 and 29: 2. x 1 x 2 x 3 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T
Page 30 and 31: mo`no, zatoa {to funkcijata na vist
Page 32 and 33: Dali {⇒,*} e generira~ko mnoèstv
Page 34 and 35: 6.14 o (i) X \ Y=∅ ⇔ X ⊆ Y; (
Page 36 and 37: (a) A ∩ (B+C) = (A ∩ B)+(A ∩
Page 38 and 39: (g) ( I Aj ) ∪( IBk ) ⊆ I( Aj
Page 40 and 41: 1.9. Re{avawe ravenki so mnoèstva
Page 42 and 43: Poslednoto neravenstvo e mo`no akko
Page 44 and 45: Natamu }e razgleduvame specijalen v
Page 46 and 47: 7. ∇ M e refleksivna, simetri~na,
Page 48 and 49: So M da go ozna~ime podmnoèstvoto
Page 50 and 51: (v) α,β∈A⇒α∩β∈A. ■ Pr
Page 52 and 53: (a) α e refleksivna akko ∆ A ⊆
Page 54 and 55: Primeri: x M f(x) N sl.1 1. Neka M
Page 56 and 57: 3.3 o Ako f:M→N e preslikuvawe i
Page 58 and 59: Primer: 1. Preslikuvaweto f od prim
Page 60 and 61: toga{ od (2.4.6) imame g 1 =h 1 , g
Page 62 and 63: 8. Neka f:A→B e preslikuvawe. Da
Page 64 and 65: Primer: 1. M={1,2,3,4,5,6}, N={a,b,
Page 66 and 67: (ii) A⊆B∧B⊆A⇒A=B, (iii) A
Page 70 and 71: 4. Vo koj slu~aj sekoj element od e
Page 72 and 73: Neka M e mreàta zadadena so sledno
Page 74 and 75: 10. Da se najdat site razli~ni (do
Page 76 and 77: Dokaz: ]e pokaème deka intervalot
Page 78 and 79: Najmal kardinalen broj na beskone~n
Page 80 and 81: Dokaz: Ako f e biekcija od A na C,
Page 82 and 83: α γ =β γ . (a) α β α γ =α
Page 84 and 85: Sega da dademe dokaz na prviot del
Page 86 and 87: Kardinalni broevi pridruùvame na m
Page 89 and 90: 3. VOVED VO MATEMATI^KATA LOGIKA Vo
Page 91 and 92: Edna formula e teorema akko se sost
Page 93 and 94: • mnoèstvoto formuli na L (Form
Page 95 and 96: Γ├− (A ⇒B i ) ⇒(A ⇒B j )
Page 97 and 98: (6) ¬B ⇒¬A (1,4,MP) (7) (¬B
Page 99 and 100: B' 1 ,...,B' k ├− C ' IIa. Neka
Page 101 and 102: ne e neprotivre~na. Zatoa neka ni A
Page 103 and 104: Se dogovarame deka azbukata na ovaa
Page 105 and 106: Poimite za slobodno i vrzano pojavu
Page 107 and 108: x* y = x + y . III) D=R + , ϕ: A 1
Page 109 and 110: smetawe. Aksiomatskiot metod, koj{t
Page 111 and 112: 3.7. Svojstva na jazicite od prv re
Page 113 and 114: hipoteza na kontinuum, 5 ideal, 5 i
Page 115: simetri~na razlika, 5 simetri~na re
show all

voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?