voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

6. Termot x j e sloboden za x i vo A 1 1
(x i ), no x j ne e sloboden za x i vo
(∀x j ) A 1 1
(x i ). Termot f 2 1
(x 1 ,x 3 ) e sloboden za promenlivata x 1 vo formulata
(∀x 2 ) A 2 1
(x 1 ,x 2 ) ⇒ A 1 1
(x 1 ), no ne e sloboden za promenlivata x 1 vo (∃
x 3 )(∀x 2 ) A 2 1
(x 1 ,x 2 ) ⇒ A 1 1
(x 1 ).
7. Sekoj term bez promenlivi e sloboden za sekoja promenliva od
proizvolna formula.
8. Eden term t e sloboden za sekoja promenliva vo formulata A ako
ni edna od promenlivite od t ne e vrzana vo A .
9. x i e slobodna za x i vo sekoja formula.
10. Sekoj term e sloboden za promenlivata x i ako x i ne se pojavuva
slobodno vo A .
11. Termot f 2 1
(x 1 ,x 2 ) e sloboden za x 1 vo A 2 1
(x 1 ,x 2 ) ⇒ (∀x 2 ) A 1 1
(x 2 ), no
ne e sloboden za promenlivata x 1 vo formulata
((∀x 2 ) A 2 1
(x 2 ,a 1 )) ∨ (∃x 2 ) A 2 1
(x 1 ,x 2 ).
Re~enica (ili zatvorena formula) e onaa formula vo koja{to nema
slobodni pojavuvawa na promenlivi.
Interpretacija (D;ϕ) na formula A se sostoi od neprazno
mno`estvo D i preslikuvawe ϕ od jazikot K na formulata A vo
mno`estvoto operacii i relacii na D, taka {to konstantite gi preslikuva
vo odredeni elementi od D, a funkcionalnite i predikatskite simboli vo
operacii i relacii na D, pri {to n-aren funkcionalen simbol preslikuva
vo n-arna operacija, a n-aren predikaten simbol vo n-arna relacija (n-arna
relacija na D e podmno`estvo od D n ).
Primer
12. Neka A e slednava formula
A 2 1
(g(f(x, y)),h(g(x),g(y)))
kade {to g e unaren funkcionalen simbol, a f i h se binarni.
]e dademe tri interpretacii na ovaa formula:
I) D=R, ϕ: A 2 1
a ≤; g a||; f,h a+.
Interpretacijata na A e
≤ (||(+(x, y),+(||(x),||(y))).
So koristewe na voobi~aenite oznaki ovoj izraz go dobiva sledniov
oblik:
|x + y| ≤ | x | + | y |.
II) D=R + , ϕ: A 1 2 a =; g a√⎺ ; f a∗; h a+.
128