voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

Obratno, neka f ne e injekcija, t.e. neka postojat x, y∈M, x≠y i f(x)=f(y).
Definirame dve preslikuvawa, g 1 i g 2 , od L={x,y} vo M na sledniov na~in:
g 1 (x)=y, g 1 (y)=y, g 2 (x)=x, i g 2 (y)=x.
Toga{ g 1 ≠g 2 , no
fg 1 (x)=f(g 1 (x))=f(y)=f(x)=f(g 2 (x))=fg 2 (x),
fg 1 (y)=f(g 1 (y))=f(y)=f(x)=f(g 2 (y))=fg 2 (y). ■
4.6 o (i) f:M→N e injekcija akko postoi preslikuvawe g:N→M takvo
{to
gf=1 M .
(ii) f:M→N e surjekcija akko postoi preslikuvawe g:N→M takvo
{to fg=1 N .
Dokaz: (i) Ako e gf=1 M , toga{ gf e injekcija, pa i f e injekcija. Neka f
e injekcija, i a proizvolen fiksiran element od M. Toga{ definirame
preslikuvawe g:N→M so
⎧ x,
ako y ∈ f ( M ) i f ( x)
= y
g ( y)
= ⎨
⎩ a,
vo sekoj drug slu ~ aj.
Od uslovot f e injekcija sleduva deka g e dobro definirano preslikuvawe,
a od samata definicija na g deka gf=1 M . ■
Kako posledica od definicijata na biekcija i od gornite svojstva se
dobiva slednovo tvrdewe:
4.7 o (i) 1 M e biekcija.
(ii) Ako f:M→N, g:N→K se biekcii, toga{ i gf e biekcija.
(iii) Ako gf e biekcija, toga{ f e injekcija, a g e surjekcija.
(iv) f e biekcija akko za proizvolni mno`estva L i K i
proizvolni preslikuvawa g 1 ,g 2 :L→M, h 1 ,h 2 :N→K imame
(fg 1 =fg 2 ⇒g 1 =g 2 )∧(h 1 f=h 2 f⇒h 1 =h 2 ). (2.4.5)
(v) f:M→N e biekcija akko postojat preslikuvawa h,g:N→M, takvi
{to gf=1 M i fh=1 N . ■
Neka e gf=1 M . Toga{ za g velime deka e leva inverzija na f, a za f deka
e desna inverzija na g.
4.8 o Sekoja biekcija ima to~no edna leva i to~no edna desna
inverzija, i, pritoa, tie se ednakvi.
Dokaz: Neka f:M→N e biekcija, g leva inverzija na f, a h desna
inverzija na f, t.e.
gf=1 M , a fh=1 N .
Toga{ imame
g=g1 N =g(fh)=(gf)h=1 M h=h. (2.4.6)
Ako g 1 , h 1 :N→M se takvi {to
g 1 f=1 M , a fh 1 =1 N ,
59