voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

B' 1 ,...,B' k ├− C '
IIa. Neka B ima vrednost ⊥. Zna~i, A ima vrednost T. Toga{ B ' e ¬B ,
a A ' e A. Zna~i, B' 1 ,...,B' k ├− ¬B . Od 2.4 o .v imame
B' 1 ,...,B' k ├− B ⇒C ,
kade {to B ⇒C e A , a A ' e A .
IIb. Neka B ima vrednost T, a C vrednost ⊥. Toga{ A ima vrednost ⊥,
pa imame B ' e B, C ' e ¬C , a A ' e ¬A . Od induktivnata pretpostavka imame
B' 1 ,...,B' k ├− B , i B' 1 ,...,B' k ├− ¬C .
Spored 2.4 o d imame
B' 1 ,...,B' k ├− ¬(B ⇒ C ),
no ¬(B ⇒ C ) e A '.
IIv. Neka B ima vrednost T i C ima vrednost T. Toga{ i A ima
vrednost T, pa C ' e C , a A ' e A . Od induktivnata pretpostavka imame
B' 1 ,...,B' k ├− B,
a od aksiomite A1,
B' 1 ,...,B' k ├− B ⇒ C ,
pri {to B ⇒ C e A '. ■
2.7 o (Teorema za kompletnost). Edna iskazna formula A e tavtologija
akko taa e teorema vo L.
Dokaz: Ednata nasoka e doka`ana so 2.5 o . Neka A e iskazna formula,
a B 1 ,...,B k iskaznite bukvi {to se pojavuvaat vo formulata A . Spored 2.6 o .,
za koja bilo vrednost na vistinitost na promenlivite B 1 ,...,B k imame
B' 1 ,...,B' k ├− A ( vo ovoj slu~aj A sekoga{ ima vrednost T). Zna~i, ako B k ima
vrednost T, toga{ B' 1 ,...,B' k-1 ,B k ├− A , a ako B k ima vrednost ⊥, toga{
B' 1 ,...,B' k-1 ,¬B k ├− A . Od teoremata za dedukcija dobivame:
B' 1 ,...,B' k-1 ├− B k ⇒ A ,
B' 1 ,...,B' k-1 ├− ¬B k ⇒A,
Od 2.4 o .| dobivame deka e B' 1 ,...,B' k-1 ├− A , t.e. deka mno`estvoto
pretpostavki sme go namalile za 1.
Ako prodol`ime so ovaa postapka, posle k ~ekori }e dobieme deka e
├− A . ■
2.8 o Ako B e izraz {to sodr`i znaci ¬, ⇒, ∧ , ∨ , ⇔ , koj{to e skratena
forma od iskazna formula A od L, toga{ B e tavtologija akko A e
teorema vo L.
Dokaz: Definicijata na skrateni formi ovozmo`uva pri zamena vo
dadena iskazna formula na izraz so soodvetna skratena forma da se dobie
izraz logi~ki ekvivalenten na po~etniot. Toga{ A i B se logi~ki
ekvivalentni i B e tavtologija akko A e tavtologija. Spored teoremata za
kompletnost toga{ imame deka B e tavtologija akko A e teorema vo L. ■
121