voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

ne e tavtologija.
Neka τ((A∧B)∨(C∧D)) =⊥. Zna~i, τ(A∧B) =⊥ i τ(C∧D) =⊥. No, za τ(A)
=⊥, a τ(B)=T, i za τ(C)=T, a τ(D)=⊥ imame deka τ((A∨C)∧(B∨D))=T. Zna~i, ako
na mestoto na implikacijata se stavi ekvivalencija, ne se dobiva
tavtologija. ■
Da zabele`ime deka direkten proizvod od tri mno`estva mo`e da se
definira na pove}e na~ini. Imeno:
(A×B)×C={((a,b),c)|a∈A,b∈B, c∈C};
A×(B×C)={(a,(b,c)|a∈A,b∈B, c∈C};
A×B×C={(a,b,c)|a∈A,b∈B, c∈C},
pri {to definiranive tri mno`estva se par po par disjunktni. Ako se
razgleduva direkten proizvod od kone~na familija mno`estva, povtorno }e
se dojde do pove}e mo`nosti, koi davaat par po par disjunktni mno`estva.
Od ovie pri~ini, za direktniot proizvod A 1 ×...×A n na kone~na familija
mno`estva A 1 ,...,A n da bide ednozna~no opredelen, toj se definira na sledniov
na~in:
A 1 ×...×A n ={(a 1 ,...,a n )|a 1 ∈A 1 ,...,a n ∈A }. (1.8.3)
n
Namesto A 1 ×...×A n se koristi i oznakata ∏ A k
.
k = 1
Isto taka, ako vo (1.8.3) A 1 =A 2 =...=A n =A, toga{ namesto A 1 ×...×A n
skrateno pi{uvame A n .
1.8.1. Ve`bi.
1. Da se poka`e deka:
(A×B = A×S i A≠∅) ⇒ B= S.
2. Da se poka`e deka:
A×( U B k
) = U ( A×
B k
), k∈K.
k
k
3. Neka {A k | k∈K} i {B k | k∈K} se dve familii mno`estva, pri {to
K≠∅. Da se doka`e deka:
( I Ak) × ( I Bk) = I( Ak × Bk)
.
k
k
k
Dali e to~no ravenstvoto:
( U Ak) × ( U Bk) = U( Ak × Bk)
?
k
k
k
4. Da se doka`e deka:
(a) ( A × A ) \( B × B ) = [( A \ B ) × B ] ∪ [( A × ( A \ B )];
1 2 1 2 1 1 2 1 2 2
n n n
∏ k
\ ∏ k
= U[ 1× L× (
k
\
k) ×
k+
1× L ×
n]
.
k = 1 k = 1 k = 1
(b) A B A A B A A
39