voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

Ao
= U Ai
, Bo
= UBi
.
Ai∈V
Bi∈V
Definirame preslikuvawe f o :A o →B o so f o (x)=f i (x) akko x∈A i . Ova
preslikuvawe e dobro definirano, bidej}i ako x∈A j , toga{ od faktot deka
V e veriga imame A i ⊆A j ili A j ⊆A i , t.e. za A i ⊆A j , f j/Ai =f i , pa f j (x)=f i (x), za sekoj
x∈A i . ]e poka`eme deka e (A o ,B o ,f o )∈L, od {to vedna{ }e sleduva deka
(A o ,B o ,f o ) e majorant na V.
f o e injekcija. Neka e x,y∈A o i f o (x)=f o (y). Postojat A i , A j takvi {to
x∈A i , y∈A j . Zna~i, f o (x)=f i (x), f o (y)=f j (y) i f i (x)=f j (y). No, ili A i ⊆A j ili A j ⊆A i .
Neka e A i ⊆A j . Toga{ f i (x)=f j (x). No, bidej}i f j e biekcija i f j (x)=f j (y), dobivame
x=y.
f e surjekcija. Neka e z∈B o . Toga{ e z∈B k za nekoj priroden broj k.
Bidej}i f k e biekcija, postoi x∈A k takov {to f k (x)=z, t.e. f o (x)=z.
Spored lemata na Corn L sodr`i nekoj maksimalen element (A',B',f').
Da zabele`ime deka A=A' ili B=B', bidej}i vo sprotivno }e se dobie
(A",B",f") takov {to (A',B',f')≤(A",B",f"). Imeno, ako a∈A\A', b∈B\B',
A"=A'∪{a}, B"=B'∪{b},toga{ definirame biekcija f":A"→B" na o~igleden
na~in:
f"(x)=f'(x), za x≠a, f"(a)=b,
{to protivre~i na maksimalnosta na (A',B',f'). ■
12.2 o Sekoe beskone~no mno`estvo A mo`e da se pretstavi kako
disjunktna unija od prebroivi podmno`estva.
Dokaz: Formirame mno`estvo L od elementi X i podreduvawe na L na
sledniov na~in:
X se sostoi od prebroivi podmno`estva na A koi se me|usebno
disjunktni.
L e podredeno so inkluzija.
Neka V e veriga vo L. Zna~i, V={X i |i∈I}, kade {to X i , X j ∈V povlekuva
X i ⊆X j ili X j ⊆X i za sekoi i,j∈I. Neka S=∪X i . ]e poka`eme deka S e majoranta na
V {to pripa|a na L. Elementite na S se prebroivi mno`estva. Neka C i D se
elementi od S. Toga{ se C∈X i , D∈X j za nekoi i i j od I. Bidej}i V e veriga,
X i ⊆X j ili X j ⊆X i . Neka e X i ⊆X j . Toga{ C i D se elementi od X j , pa C i D se
prebroivi me|usebno disjunktni mno`estva. Zna~i, S∈V. Spored lemata na
Corn, vo L e sodr`an maksimalen element M.
Neka B = U Y. Ako A\B e beskone~no mno`estvo, toga{ postoi
Y∈M
prebroivo podmno`estvo C⊆A\B, pa M∪{C} ne e podmno`estvo od M, {to ñ
protivre~i na maksimalnosta na M. Zna~i, A\B e kone~no mno`estvo. Neka
sega Y o e fiksiran element od M i neka Y 1 =Y o ∪{A\B}. Dobivame deka Y 1 e
prebroivo mno`estvo i deka A=Y 1 ∪( UY
) e baranoto pretstavuvawe na A
Y∈M
kako disjunktna unija od prebroivi mno`estva. ■
83