voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

Dokaz: (i) Bidej}i M e kompletna mre`a, taa ima najmal element 0.
Toga{ 0≤f(0), {to zna~i deka 0∈A, t.e. A≠∅.
(ii) Neka a=supA. Toga{ e x≤a za sekoj x∈A, {to poradi svojstvoto
na f povlekuva deka f(x)≤f(a). Zna~i, x≤f(x)≤f(a), t.e. f(a) e majorant na A.
Bidej}i a=supA e najmal majorant na A, imame a≤f(a), t.e. a∈A. No, od (2.8.1)
dobivame f(a)≤f(f(a)), t.e. f(a)∈A, {to zna~i deka f(a)≤a. Od dvete neravenstva
{to gi dobivme sleduva baranoto ravenstvo. ■
2.8.1.Ve`bi:
1. Neka ≤ e podreduvawe na N opredeleno so:
x≤y⇔ (∃k∈N)y=kx.
Da se proveri dali se mre`i slednive podmno`estva od N:
(a) M={1,2,3,6,7,14,21,42};
(b) P={1,2,3,4,6,8,12,24}.
2. Neka M e mre`a i A e kone~no podmno`estvo od M. Toga{ vo M
postojat supA i infA.
3. Sekoja kone~na mre`a ima najmal i najgolem element. Doka`i!
4. Sekoja kone~na mre`a e kompletna. Doka`i!
5. Neka (M,≤) i (M',≤') se dve izomorfno podredeni mno`estva.
Poka`i deka ako ednoto e mre`a, toga{ i drugoto e mre`a.
6. Neka M={1,2,3,4,5} e podredeno kako na dijagramot
1
3 2
5
4
Neka Φ e familijata linearno podredeni podmno`estva od M so
barem dva elementa. Toga{ Φ e podredeno mno`estvo vo odnos na ⊆. Da se
nacrta dijagramot na Φ.
7. Vo koj slu~aj sekoe podmno`estvo od podredenoto mno`estvo M e
veriga?
8. Neka M i M' se dobro podredeni mno`estva so najmali elementi a
i a', soodvetno. Ako ϕ:M→M' e izomorfizam, toga{ ϕ(a)=a'. Doka`i!
9. Neka M e mre`a. Da se doka`e deka:
(a) ako A e podmre`a od mre`ata M, toga{ i A e mre`a;
(b) edno podmno`estvo A od mre`ata M ne mora da bide
podmre`a od M;
(v) edno podmno`estvo A od mre`ata M mo`e da bide mre`a, no
sepak da ne bide podmre`a od M.
73