voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

2.10. Kardinalni broevi
Ako postoi priroden broj k i biekcija od N k vo A (t.e. ako A e
kone~no mno`estvo), toga{ velime deka kardinalen broj na A e k i
pi{uvame |A|=k. Od svojstvata na ekvivalentni mno`estva toga{ sleduva:
Dve kone~ni mno`estva imaat ist kardinalen broj akko tie se
ekvivalentni.
Da navedeme nekoi svojstva za brojot na elementi kaj kone~ni
mno`estva:
10.1 o |A|=n, |B|=m, A∩B=∅⇒|A∪B|=m+n.
Dokaz: Ako A={a 1 , a 2 ,..., a n }, B={b 1 , b 2 ,..., b m }, toga{
A∪B={a 1 ,a 2 ,...,a n ,b 1 ,b 2 ,...,b m }, pri {to site elementi se razli~ni, pa mo`eme
da definirame preslikuvawe ϕ:N→A∪B so
ϕ(i)=a i+1 , ako i≤n, a ϕ(n-1+j)=b j , j∈{1,2,...,m}.■
imame
10.2 o |A|=n, |B|=m, A⊆B⇒n≤m, |B\A|=m-n.
Dokaz: Da odbele`ime deka A∩(B\A)=∅ i B=A∪(B\A). Spored 10.1 o
|B|=|A∪(B\A)|=|A|+|B\A|, t.e.
m=n+|B\A|, t.e. |B\A|=m-n. ■
10.3 o Ako A i B se kone~ni mno`estva, toga{ |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|.
Dokaz: A∪B=A∪(B\(A∩B)), pri {to A∩B⊆B i A∩(B\(A∩B))=∅. Toga{
spored prethodnite dve svojstva imame
|A∪B|=|A|+|B\(A∩B)|=|A|+|B|-|A∩B|.■
Svojstvoto 10.3 o mo`e da se obop{ti za proizvolna kone~na
familija kone~ni mno`estva. Imeno :
10.4 o (Zakon za vklu~uvawe i isklu~uvawe). Ako A 1 ,...,A k se kone~ni
mno`estva, toga{
|∪A i |=Σ|A i |-Σ|A i ∩A j |+...+(-1) n+1 |A 1 ∩...∩A k |.
Dokaz: ]e napomeneme samo deka dokazot se izveduva so indukcija po
brojot k. ■
Ako go izostavime ograni~uvaweto mno`estvata da bidat kone~ni,
doa|ame do poimot kardinalen broj kaj proizvolni mno`estva. Imeno
velime deka mno`estvata A i B imaat ednakov kardinalen broj ili "ednakov
broj elementi" akko tie se ekvivalentni, t.e. akko postoi biekcija od A vo
B. Zna~i, na dve ekvivalentni mno`estva im pridru`uvame eden ist
kardinalen broj.
77