voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

More documents

Recommendations

Info

$Fractional and operational calculus with generalized fractional ...$

$Numerical Methods Course Notes Version 0.1 (UCSD Math 174, Fall ...$

(∀x) (( A 1 1 (x) ⇒ ( A 1 1 (x)) ⇒( ( A 1 1 (x) ⇒(∀x) ( A 1 1 (x)). Pretpostavkata vo A e logi~ki to~na, dodeka posledicata ne e. Da dademe nekolku primeri na teorii od prv red. Primeri: 1. Pretpodreduvawe Neka K e teorija od prv red {to sodrì edinstven (binaren) predikaten simbol A 2 1 , a ne sodrì funkciski simboli i konstanti. ]e pi{uvame x < y namesto A 2 1 (x,y), a x< 'y, namesto ¬(x < y). Imame dve sopstveni aksiomi: (∀x)(x< 'x) (nerefleksivnost) (∀x)(∀y)(∀z)(x < y ∧ y < z ⇒x < z) (tranzitivnost) Sekoj model na ovaa teorija se vika pretpodredena struktura. 2. Grupi. Neka K ima samo eden (binaren) predikaten simbol A 2 1 , eden (binaren) funkciski simbol f 2 1 , i edna konstanta a. (Zaradi voobi~aenite oznaki vo teorijata na grupi }e pi{uvame t = s, namesto A 2 1 (t, s), t + s, namesto f 2 1 (t, s), a 0 namesto a.) Ima {est sopstveni aksiomi: (∀x)(∀y)(∀z)(x+ (y + z) = (x + y) + z) (asocijativnost) (∀x)(0+x = x) (neutralen el.) (∀x)(∃y)(y + x= 0) (inverzen el.) (∀x)(x = x) (refleks. na =) (∀x)(∀y)(x =y ⇒ y = x) (simetri~n. na =) (∀x)(∀y)(∀z)(x =y ⇒ (y = z ⇒ x = z) (tranzit. na =) (∀x)(∀y)(∀z)(y = z ⇒ (x +y =x + z ∧ y + x = z + x)) Sekoj model na ovaa teorija se vika grupa. Ako pokraj ovie e zadovolena i slednava aksioma (∀x)(∀y)(x + y = y + x) (kom. na +) toga{ za modelot na ovaa teorija velime deka e abelova (ili komutativna) grupa. Na krajot da spomeneme deka jazicite od prv red se formalni teorii, pa poimite teorema i dokaz definirani kaj formalnite teorii direktno se prenesuvaat i na sekoja specijalna formalna teorija. 132
3.7. Svojstva na jazicite od prv red 7.1 o Sekoja formula A od teorija od prv red, koja{to e primerok na tavtologija e teorema i moè da se dokaè samo so pomo{ na aksiomite (1) - (3) i MP. Dokaz: A se dobiva od tavtologija W so zamena na nekoi iskazni promenlivi so formuli. Bidej}i sekoja tavtologija e teorema na iskaznoto smetawe, postoi dokaz na W vo L. Vo ovoj dokaz, ako se izvr{at istite zameni kako vo W za dobivawe na A, a onie iskazni promenlivi {to ne se javuvaat vo W se zamenat so proizvolna formula, se dobiva niza formuli koja{to e dokaz na A vo K. Ovoj dokaz gi koristi samo aksiomite (1) - (3) i MP. ■ Primer: 1. Ako A e formulata B ⇒B, kade {to B e formula vo teorijata K, toga{ A e teorema vo K. 7.2 o Teorijata K na predikatnoto smetawe e neprotivre~na. Dokaz: Za sekoja formula A od K neka so h(A) e ozna~en izrazot dobien od A so bri{ewe na site kvantifikatori i termi vo A (zaedno so pridru`nite zagradi i zapirki). Na primer, h((∀x) A 2 1 (x, y)⇒ A 1 1 (z)) e A 2 1 ⇒ A 1 j 1 . Spored toa h(A) e iskazna formula vo koja{to simbolite A i igraat uloga na iskazni promenlivi. Jasno e deka h(¬A) =¬(h(A)), a h(A ⇒B) = h(A) ⇒h(B). Pri ova sekoja aksioma od vidot (1) - (5) se transformira vo tavtologija. Ova tvrdewe e jasno za aksiomite (1) - (3). Aksiomata (4) se transformira vo tavtologija od oblik B ⇒B, a (5) vo tavtologija od oblik (D ⇒E) ⇒(D ⇒E). Ako h(A) i h(A ⇒B) se tavtologii, toga{ i h(B) e tavtologija. Ako pak h(A) e tavtologija, toga{ i h((∀x)A)=h(A) e isto taka tavtologija. Zna~i, h(A) e tavtologija sekoga{ koga A e teorema vo K. Ako postoi formula B od K taka {to i B i ¬B se teoremi na K, toga{ se dobiva deka h(B) i ¬h(B) se tavtologii, {to protivre~i na neprotivre~nosta na iskaznoto smetawe. ■ 7.3 o (Teorema za kompletnost). Edna formula od K *predikatnoto smetawe) e teorema akko e logi~ki to~na formula. ■ 133
Page 1:
UNIVERZITET "SV. KIRIL I METODIJ" P
Page 4 and 5:
Na krajot od vtorata glava, po odde
Page 6 and 7:
2.11.1. Ve`bi 81 2.12. Lemata na Co
Page 8 and 9:
2'. Vo primerot 2 so tek na vreme b
Page 10 and 11:
1.2. Iskazi i iskazni formuli Matem
Page 12 and 13:
Da navedeme u{te primeri na atomarn
Page 14 and 15:
e~enicite (3),(4) i (6) se to~ni. S
Page 16 and 17:
iskazni bukvi (}e gi vikame i iskaz
Page 18 and 19:
x>3 i x
Page 20 and 21:
X=X; X⊆Y⇔(x∈X⇒x∈Y); X=Y
Page 22 and 23:
1.4. Tavtologii Iskazna formula koj
Page 24 and 25:
1. Opredeli dali slednive iskazni f
Page 26 and 27:
p r ¬ q ¬ r p r ¬ r ¬ q sl.1.4
Page 28 and 29:
2. x 1 x 2 x 3 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T
Page 30 and 31:
mo`no, zatoa {to funkcijata na vist
Page 32 and 33:
Dali {⇒,*} e generira~ko mnoèstv
Page 34 and 35:
6.14 o (i) X \ Y=∅ ⇔ X ⊆ Y; (
Page 36 and 37:
(a) A ∩ (B+C) = (A ∩ B)+(A ∩
Page 38 and 39:
(g) ( I Aj ) ∪( IBk ) ⊆ I( Aj
Page 40 and 41:
1.9. Re{avawe ravenki so mnoèstva
Page 42 and 43:
Poslednoto neravenstvo e mo`no akko
Page 44 and 45:
Natamu }e razgleduvame specijalen v
Page 46 and 47:
7. ∇ M e refleksivna, simetri~na,
Page 48 and 49:
So M da go ozna~ime podmnoèstvoto
Page 50 and 51:
(v) α,β∈A⇒α∩β∈A. ■ Pr
Page 52 and 53:
(a) α e refleksivna akko ∆ A ⊆
Page 54 and 55:
Primeri: x M f(x) N sl.1 1. Neka M
Page 56 and 57:
3.3 o Ako f:M→N e preslikuvawe i
Page 58 and 59:
Primer: 1. Preslikuvaweto f od prim
Page 60 and 61: toga{ od (2.4.6) imame g 1 =h 1 , g
Page 62 and 63: 8. Neka f:A→B e preslikuvawe. Da
Page 64 and 65: Primer: 1. M={1,2,3,4,5,6}, N={a,b,
Page 66 and 67: (ii) A⊆B∧B⊆A⇒A=B, (iii) A
Page 68 and 69: Ako (M;α) e podredeno mnoèstvo, p
Page 70 and 71: 4. Vo koj slu~aj sekoj element od e
Page 72 and 73: Neka M e mreàta zadadena so sledno
Page 74 and 75: 10. Da se najdat site razli~ni (do
Page 76 and 77: Dokaz: ]e pokaème deka intervalot
Page 78 and 79: Najmal kardinalen broj na beskone~n
Page 80 and 81: Dokaz: Ako f e biekcija od A na C,
Page 82 and 83: α γ =β γ . (a) α β α γ =α
Page 84 and 85: Sega da dademe dokaz na prviot del
Page 86 and 87: Kardinalni broevi pridruùvame na m
Page 89 and 90: 3. VOVED VO MATEMATI^KATA LOGIKA Vo
Page 91 and 92: Edna formula e teorema akko se sost
Page 93 and 94: • mnoèstvoto formuli na L (Form
Page 95 and 96: Γ├− (A ⇒B i ) ⇒(A ⇒B j )
Page 97 and 98: (6) ¬B ⇒¬A (1,4,MP) (7) (¬B
Page 99 and 100: B' 1 ,...,B' k ├− C ' IIa. Neka
Page 101 and 102: ne e neprotivre~na. Zatoa neka ni A
Page 103 and 104: Se dogovarame deka azbukata na ovaa
Page 105 and 106: Poimite za slobodno i vrzano pojavu
Page 107 and 108: x* y = x + y . III) D=R + , ϕ: A 1
Page 109: smetawe. Aksiomatskiot metod, koj{t
Page 113 and 114: hipoteza na kontinuum, 5 ideal, 5 i
Page 115: simetri~na razlika, 5 simetri~na re
show all

voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?