voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

More documents

Recommendations

Info

$Fractional and operational calculus with generalized fractional ...$

$Numerical Methods Course Notes Version 0.1 (UCSD Math 174, Fall ...$

6.14 o (i) X \ Y=∅ ⇔ X ⊆ Y; (ii) X \ Y=X ⇔ X ∩ Y=∅. Dokaz: (i) Neka X \ Y=∅, i neka x∈X. Toga{ od definicijata na razlika na mnoèstva i faktot deka x∉X \ Y, dobivame deka x∈Y, t.e. X ⊆ Y. Obratno, neka X ⊆ Y. Koga bi postoel element x∈X \ Y, toga{ bi imale x∈X i x∉Y, {to protivre~i na uslovot X⊆Y.■ 6.15 o x∉X \ Y ⇔ x∉X ∨ x∈Y.■ 6.16 o X⊆Y ⇒ X=Y \ (Y \ X).■ 6.17 o (i) X \ (Y ∪ Z)=(X \ Y) ∩ (X \ Z); (ii) X \ (Y ∩ Z)=(X \ Y) ∪ (X \ Z). Dokaz: (i) x∈X \ (Y ∪ Z) ⇔ x∈X ∧ x∉(Y ∪ Z) ⇔ x∈X ∧ x∉Y ∧ x∉Z ⇔ ⇔ x∈X ∧ x∉Y ∧ x∈X ∧ x∉Z ⇔ x∈(X \ Y) ∩ (X \ Z). ■ Da definirame u{te edna operacija so mnoèstva. Simetri~na razlika M + N (ili M∆ N) na mnoèstvata M i N se definira so slednovo ravenstvo: M+N=(M ∪ N) \ (M ∩ N). (1.6.4) 6.18 o M+N se sostoi od elementite {to pripa|aat na edno i samo edno od mnoèstvata M, N. ■ 6.19 o X+Y=Y+X. ■ 6.20 o (i) X+X=∅; (ii) X+∅=X. ■ Ako X⊆M, toga{ mnoèstvoto elementi od M {to ne se vo X se vika komplement na X vo M i se ozna~uva so X' M , ili samo so X' dokolku znaeme vo koe mnoèstvo M se bara komplement na mnoèstvoto X, t.e. mnoèstvoto M go smetame za fiksno, univerzalno mnoèstvo. Spored toa: X'=M \ X. (1.6.5) 6.21 o (De Morganovi teoremi) (i) (X')' = X; (ii) (Y ∪ Z)' = Y' ∩ Z'; (iii) (Y ∩ Z)' = Y' ∪ Z'; (iv) X ⊆ Y ⇔ Y' ⊆ X'. Dokaz: (i) (X')' = M \ (M \ X) = X. (ii) (Y ∪ Z)' = M \ (Y ∪ Z) = (M \ Y) ∩ (M \ Z) =Y' ∩ Z'. (iv) Y' = M \ Y⊂ M \ X = X'. ■ 34
Koristej}i komplement na mnoèstva, simetri~nata razlika na mnoèstva moè da se definira i na poinakov na~in, imeno so M+N = (M'∩N) ∪ (M∩N'). Za da pokaème deka dvete definicii opredeluvaat isto mnoèstvo, }e go iskoristime slednovo svojstvo: 6.22 o (i) A \ B=A ∩ B'; (ii) A+B = (A \ B) ∪ (B \ A). Dokaz: (i) x∈A \ B ⇔x∈A ∧ x∉B ⇔ x∈A ∧ x∈B' ⇔ x∈A ∩ B'. (ii) A+B = (A∪B) \ (A∩B) = (A∪B) ∩ (A∩B)' = (A∪B) ∩ (A'∪B') = =((A ∪ B) ∩ A') ∩ ((A ∪ B) ∩ B') = = ((A ∩ A') ∪ (B ∩ A')) ∪ ((A ∩ B') ∪ (B ∩ B')) = =(A' ∩ B) ∪ (A ∩ B') = (A \ B) ∪ (B \ A). ■ Od narednite tvrdewa sleduva deka operacijata + e asocijativna i deka vaì distributivniot zakon na ∩ vo odnos na +. 6.23 o X+(Y+Z) = (X+Y)+Z. ■ 6.24 o X ∩ (Y+Z) = (X ∩ Y)+(X ∩ Z). ■ 1.6.1. Ve`bi: 1. Da se dokaè: (a) A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ C; (b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); (v) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 2. Da se dokaè: (a) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C); (b) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C); (v) B(A ∩ B)=B(A) ∩ B(B). 3. X ∩ Y=X ∩ Z ∧ X ∪ Y=X ∪ Z⇒Y=Z. Dokaì! 4. Neka A i B se proizvolni mnoèstva. Dokaì deka slednive uslovi se ekvivalentni: (i) A ⊆ B, (ii) A ∩ B=A, (iii) A ∪ B=B. 5. Neka A i B se proizvolni mnoèstva. Dokaì deka: (a) A ⊆ B⇔A ∩ B'=∅; (b) A ∪ B = ∅⇔A=∅ ∧ B=∅; (v) A=B⇔A+B=∅. 6. Da se pokaè deka (A ∩ B) ∪ (C ∩ D) ⊆ (A ∪ C) ∩ (B ∪ D). Dali vaì ravenstvo? 7. Da se dokaè to~nosta na ravenstvata: 35
Page 1: UNIVERZITET "SV. KIRIL I METODIJ" P
Page 4 and 5: Na krajot od vtorata glava, po odde
Page 6 and 7: 2.11.1. Ve`bi 81 2.12. Lemata na Co
Page 8 and 9: 2'. Vo primerot 2 so tek na vreme b
Page 10 and 11: 1.2. Iskazi i iskazni formuli Matem
Page 12 and 13: Da navedeme u{te primeri na atomarn
Page 14 and 15: e~enicite (3),(4) i (6) se to~ni. S
Page 16 and 17: iskazni bukvi (}e gi vikame i iskaz
Page 18 and 19: x>3 i x
Page 20 and 21: X=X; X⊆Y⇔(x∈X⇒x∈Y); X=Y
Page 22 and 23: 1.4. Tavtologii Iskazna formula koj
Page 24 and 25: 1. Opredeli dali slednive iskazni f
Page 26 and 27: p r ¬ q ¬ r p r ¬ r ¬ q sl.1.4
Page 28 and 29: 2. x 1 x 2 x 3 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T
Page 30 and 31: mo`no, zatoa {to funkcijata na vist
Page 32 and 33: Dali {⇒,*} e generira~ko mnoèstv
Page 36 and 37: (a) A ∩ (B+C) = (A ∩ B)+(A ∩
Page 38 and 39: (g) ( I Aj ) ∪( IBk ) ⊆ I( Aj
Page 40 and 41: 1.9. Re{avawe ravenki so mnoèstva
Page 42 and 43: Poslednoto neravenstvo e mo`no akko
Page 44 and 45: Natamu }e razgleduvame specijalen v
Page 46 and 47: 7. ∇ M e refleksivna, simetri~na,
Page 48 and 49: So M da go ozna~ime podmnoèstvoto
Page 50 and 51: (v) α,β∈A⇒α∩β∈A. ■ Pr
Page 52 and 53: (a) α e refleksivna akko ∆ A ⊆
Page 54 and 55: Primeri: x M f(x) N sl.1 1. Neka M
Page 56 and 57: 3.3 o Ako f:M→N e preslikuvawe i
Page 58 and 59: Primer: 1. Preslikuvaweto f od prim
Page 60 and 61: toga{ od (2.4.6) imame g 1 =h 1 , g
Page 62 and 63: 8. Neka f:A→B e preslikuvawe. Da
Page 64 and 65: Primer: 1. M={1,2,3,4,5,6}, N={a,b,
Page 66 and 67: (ii) A⊆B∧B⊆A⇒A=B, (iii) A
Page 68 and 69: Ako (M;α) e podredeno mnoèstvo, p
Page 70 and 71: 4. Vo koj slu~aj sekoj element od e
Page 72 and 73: Neka M e mreàta zadadena so sledno
Page 74 and 75: 10. Da se najdat site razli~ni (do
Page 76 and 77: Dokaz: ]e pokaème deka intervalot
Page 78 and 79: Najmal kardinalen broj na beskone~n
Page 80 and 81: Dokaz: Ako f e biekcija od A na C,
Page 82 and 83: α γ =β γ . (a) α β α γ =α
Page 84 and 85:
Sega da dademe dokaz na prviot del
Page 86 and 87:
Kardinalni broevi pridruùvame na m
Page 89 and 90:
3. VOVED VO MATEMATI^KATA LOGIKA Vo
Page 91 and 92:
Edna formula e teorema akko se sost
Page 93 and 94:
• mnoèstvoto formuli na L (Form
Page 95 and 96:
Γ├− (A ⇒B i ) ⇒(A ⇒B j )
Page 97 and 98:
(6) ¬B ⇒¬A (1,4,MP) (7) (¬B
Page 99 and 100:
B' 1 ,...,B' k ├− C ' IIa. Neka
Page 101 and 102:
ne e neprotivre~na. Zatoa neka ni A
Page 103 and 104:
Se dogovarame deka azbukata na ovaa
Page 105 and 106:
Poimite za slobodno i vrzano pojavu
Page 107 and 108:
x* y = x + y . III) D=R + , ϕ: A 1
Page 109 and 110:
smetawe. Aksiomatskiot metod, koj{t
Page 111 and 112:
3.7. Svojstva na jazicite od prv re
Page 113 and 114:
hipoteza na kontinuum, 5 ideal, 5 i
Page 115:
simetri~na razlika, 5 simetri~na re
show all

voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?