voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

7. ∇ M e refleksivna, simetri~na, tranzitivna, ekvivalentnost. ∇ M e
antisimetri~na akko M=∅ ili M e ednoelementno mno`estvo, a
antirefleksivna akko M=∅.
8. M={1,2,3,4},
α={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)},
β={(1,2),(2,1)},
γ={(1,1),(4,4)},
δ={(1,1),(1,2),(2,2),(1,3),(3,3),(4,4)}.
α e ekvivalentnost, β e nerefleksivna i simetri~na, γ ne e ni
refleksivna ni antirefleksivna, no e simetri~na, tranzitivna i
antisimetri~na relacija, δ e podreduvawe.
Ako α e relacija na mno`estvoto M, toga{ so x α go ozna~uvame
slednovo podmno`estvo od M
x α ={y∈M|xαy}.
Primeri:
9. x ∅ =∅;
∆
10. x M
= {}; x
∇
11. x M
= { y| y∈M,( x, y) ∈ M × M} = M;
12. Ako α,β,γ,δ se kako i vo primerot 8, toga{ 1 α ={1,2}=2 α ,
3 α ={3,4}=4 α ;
1 β ={2}, 2 β ={1}, 3 β =4 β =∅;
1 γ ={1}, 2 γ =3 γ =∅, 4 γ ={4};
1 δ ={1,2,3}, 2 δ ={2}, 3 δ ={3}, 4 δ ={4}.
2.1 o α e tranzitivna relacija na M akko
(∀x,y∈M)(y∈x α ⇒y α ⊆x α ). (2.2.1)
Dokaz: Neka α e tranzitivna relacija i neka e z∈y α . Toga{ e:
yαz∧xαz⇒xαz⇒z∈x α .
Obratno, neka va`i (2.2.1). Toga{ e:
xαy, yαz⇒y∈x α ∧ z∈y α ⇒z∈x α ⇒xαz. ■
Ako M e kone~no mno`estvo, toga{ sekoja relacija α na M mo`e da
se zadade kako {ema od dva simbola, 0 i 1 (ili T, ⊥). Pritoa, ako e
xαy, toga{ na mestoto kade {to se se~e redicata na x so kolonata na y se
pi{uva znakot 1 (ili T), a ako ne se vo relacija, znakot 0 (ili ⊥). Taka, za
posledniot primer relacijata α mo`e da se zapi{e i na sledniov na~in
α 1 2 3 4 α 1 2 3 4
1 T T ⊥ ⊥ 1 1 1 0 0
46