voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

4. Vo koj slu~aj sekoj element od edno podredeno mno`estvo e
minimalen?
5. Da se poka`e deka vo sekoe kone~no podredeno mno`estvo ima
barem eden minimalen i barem eden maksimalen element. Dali ova tvrdewe
e to~no i za beskone~ni mno`estva?
6. Ako a i b se razli~ni minimalni (maksimalni) elementi vo
podredenoto mno`estvo M, toga{ {a,b} nema minorant (majorant) vo M.
7. Neka M e podredeno mno`estvo i A⊆M. So A * da go ozna~ime
mno`estvoto od site majoranti na A vo M, a so A * mno`estvoto od site
minoranti na A vo M. Da se poka`e deka:
(a) ∅ * =∅ * =M;
(b) ako M ima najmal element a i najgolem element b, toga{
M * ={a}, a M * ={b};
(v) A⊆B⇒B * ⊆A * , B * ⊆A * ;
(g) A * =((A * ) * ) * ;
(d) (A∪B) * =A * ∩B * .
8. Neka (α i |i∈I) e veriga podreduvawa na A. Da se poka`e deka i U α i
i∈I
e podreduvawe na A.
9. Da se poka`e deka za sekoe podreduvawe α na edno mno`estvo M
postoi linearno podreduvawe µ na M, takvo {to α⊆µ.
2.8. Mre`i
Ako (M;≤) e podredeno mno`estvo takvo {to sekoe dvoelementno
podmno`estvo od M ima i supremum i infimum vo M, toga{ za (M;≤) velime
deka e mre`a.
Primeri:
1. (B(M);⊆) e mre`a, vo koja
sup B(M) {A,B}=A∪B,
inf B(M) {A,B}=A∩B.
2.
1
1
1
r
1
s
0
( a)
; p; p
q ;
0
() b
0
() c
p
0
( d)
q
;
70