voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

X=X;
X⊆Y⇔(x∈X⇒x∈Y);
X=Y⇔(x∈X⇔x∈Y).
Koristej}i re{enie na iskazna funkcija, dadeno mno`estvo A mo`e
da se zapi{e i na sledniov na~in: neka A e mno`estvo, A⊆U, a ψ(x) e iskazna
funkcija. Ako A se sostoi od onie elementi u od U koi po zamenata vo ψ(x)
na mestoto na x davaat to~en iskaz, toga{ A e to~no re{enieto na iskaznata
funkcija ψ(x). Vo ovoj slu~aj velime deka A e definirano so ψ(x) i pi{uvame
A={x|ψ(x)}.
Primeri:
3. {1}={x|x=1}
4. {1,2}={x|x=1∨x=2}
5. ∅={x|x≠x}.
Da ja razgledame re~enicata "Za sekoj realen broj x to~no e deka
x 2 ≠−1." Ovaa re~enica ne e iskazna funkcija, tuku iskaz, i toa to~en.
Simboli~ki taa se zapi{uva na sledniov na~in
(∀x∈R)x 2 ≠−1. (1.3.1)
Simbolot ∀ se vika univerzalen kvantifikator. Ako univerzalnoto
mno`estvo (vo ovoj slu~aj R ) e "fiksirano", toga{ iskazot (1.3.1)
mo`e da se zapi{e i na sledniov na~in
(∀x) x 2 ≠−1. (1.3.2)
Re~enicata: "Postoi realen broj x, takov {to x 2 =2." e isto taka
iskaz, i toa vistinit. Simboli~ki toj mo`e da se zapi{e na sledniov na~in:
(∃x∈R) x 2 =2. (1.3.3)
Simbolot ∃ se vika egzistencijalen kvantifikator.
Vrednosta na iskazite zadadeni so (1.3.1), (1.3.2) i (1.3.3) zavisi od
univerzalnoto mno`estvo. Taka iskazot (1.3.3) e vistinit, dodeka
(∃x∈Q)x 2 =2
ne e vistinit.
Da zabele`ime deka, ako M≠∅ e dadeno univerzalno mno`estvo, a
ϕ(x) iskazna funkcija, toga{:
(∀x)ϕ(x )⇔{x|x∈M ∧ ϕ(x)}=M
(∃x)ϕ(x )⇔{x|x∈M ∧ ¬ϕ(x)}⊂M⇔ {x|x∈M ∧ ϕ(x)}≠∅.
Da navedeme nekoi svojstva za kvantifikatorite, pri {to pretpostavuvame
deka M≠∅ e dadeno univerzalno mno`estvo.
3.1 o (∀x)ϕ(x )⇒(∃x)ϕ(x ). ■
20