voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

Primer:
1. M={1,2,3,4,5,6}, N={a,b,c},
⎛1
2 3 4 5 6⎞
f =
⎜
⎟
⎝a
a b b c a⎠
kerf=∆ M ∪{(1,2),(2,1),(1,6),(6,1),(2,6),(6,2),(3,4),(4,3)}.
6.1 o Jadroto na sekoe preslikuvawe f:M→N e ekvivalentnost na M. ■
Da zabele`ime deka ako α=kerf, toga{
x α ={y∈M|xαy}={y∈M|f(x)=f(y)}=f -1 ({f(x)}).
Zna~i, na sekoe preslikuvawe mo`eme da mu pridru`ime ekvivalentnost.
Se postavuva pra{awe dali e mo`no obratnoto, t.e. dali na sekoja
ekvivalentnost α mo`e da se pridru`i preslikuvawe takvo {to jadroto na
toa preslikuvawe da bide ekvivalentnosta α. Odgovorot e pozitiven.
Imeno, neka α e ekvivalentnost na M. Definirame preslikuvawe natα:M→
M /α so
(∀x∈M) natα(x)=x α .
Za ova preslikuvawe velime deka e prirodno preslikuvawe opredeleno
od α.
6.2 o natα e preslikuvawe takvo {to ker(natα)=α.
Dokaz: Od faktot deka klasite na ekvivalentnosta α se ili ednakvi
ili disjunktni sleduva deka natα e preslikuvawe. Natamu,
(a,b)∈ker(natα)⇔natα(a)=natα(b)⇔a α =b α ⇔(a,b)∈α. ■
6.3 o natα e surjekcija. ■
Narednoto pra{awe koe se nametnuva e dali za dadeno preslikuvawe
f:M→N i α=kerf, mo`e da se definira preslikuvawe f α od M /α vo N takvo {to
f=f α (natα), t.e. takvo {to sledniov dijagram
f
M
N
natα
f α
M /α
da komutira.
Odgovorot e pozitiven. Imeno, definirame preslikuvawe f α :M /α →N
so
f α (x α )=f(x).
Pritoa
x α =y α ⇔xαy⇔f(x)=f(y),
64