voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

2 T T ⊥ ⊥ 2 1 1 0 0
3 ⊥ ⊥ T T 3 0 0 1 1
4 ⊥ ⊥ T T 4 0 0 1 1
Edna relacija e refleksivna akko glavnata dijagonala od {emata so
koja{to e zadadena se sostoi samo od edinici, a simetri~na akko e
simetri~na vo odnos na glavnata dijagonala. Edna relacija e
antirefleksivna akko glavnata dijagonala se sostoi samo od nuli, a
antisimetri~na akko za sekoja edinica vo {emata so koja e zadadena
simetri~niot element vo odnos na glavnata dijagonala e nula.
Primer
13.
β 1 2 3 4 β 1 2 3 4
1 ⊥ T ⊥ ⊥ 1 0 1 0 0
2 T ⊥ ⊥ ⊥ 2 1 0 0 0
3 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 3 0 0 0 0
4 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 4 0 0 0 0
O~igledno, relacijata β e antirefleksivna i simetri~na.
2.2 o α e ekvivalentnost na mno`estvoto M akko
(∀x,y∈M)(x∈x α ∧ (y∈x α ⇒x α =y α )). (2.2.2)
Dokaz: Neka α e ekvivalentnost. Toga{
α∈R⇒(∀x∈M)xαx, t.e. (∀x∈M)x∈x α .
Od (2.2.1) imame
α∈T⇔(y∈x α ⇒y α ⊆x α ).
Ako se zeme predvid deka α e i simetri~na relacija, toga{
y∈x α ∧ z∈x α ⇒xαz ∧ xαy⇒xαz ∧ yαx⇒yαz⇒z∈y α .
Zna~i, ako α e ekvivalentnost, toga{ va`i (2.2.2).
Obratno, neka α e relacija na M za koja va`i (2.2.2). Toga{ α e
refleksivna i tranzitivna relacija. Natamu,
xαy⇒y∈x α ⇒x α =y α , (2.2.3)
x∈x α ∧ x α =y α ⇒x∈y α ⇒yαx. ■
2.3 o Neka α e ekvivalentnost na M. Toga{
(∀x,y∈M)(x α ∩ y α =∅ ∨ x α =y α ). (2.2.4)
Dokaz: Neka z∈x α ∩ y α . Toga{
z∈x α , z∈y α ⇒x α = z α =y α . ■
Spored 2.3 o , sekoja ekvivalentnost α na M go deli mno`estvoto M na
neprazni disjunktni podmno`estva od M. Zna~i, ako α e ekvivalentnost na
α α
M, toga{ M = U x , x ≠∅ i x α ∩ y α =∅⇒x α =y α .
x∈M
47