voved vo teorijata na mno@estvata i matemati^kata logika

Kako posledica od poslednovo svojstvo direktno sleduva deka ako α
e ekvivalentnost, toga{ za sekoj priroden broj n i α n e ekvivalentnost.
Neka α⊆M×M. Tranzitivno pro{iruvawe (tranzitivno zatvorawe)
na α e relacijata
i
2
n
β = U α = α∪α ∪... ∪α
∪...
i≥1
2.15 o Tranzitivnoto pro{iruvawe β na relacijata α e najmalata
tranzitivna relacija vo koja{to se sodr`i α.
(Za β velime deka e tranzitivna relacija generirana od α i
pi{uvame β=).
Dokaz: aβb∧bβc⇔(∃i,j∈N)aα i b∧bα j c⇔
(∃i,j∈N)(∃c o ,c 1 ,...,c i )(∃d i+1 ,...,d i+j )a=c o αc 1 α...αc i =d i αd i+1 α...αd i+j =c
⇔aα i+j c⇔aβc.
Neka γ e tranzitivna relacija {to ja sodr`i relacijata α. Toga{ od
α⊆γ, γ 2 ⊆γ, pa imame
α 2 ⊆γ, α 3 ⊆γ, ...,α n ⊆γ,...
{to povlekuva β⊆γ.■
Da zabele`ime deka ako α e relacija nad kone~no mno`estvo M,
| M |
i
toga{ tranzitivnoto zatvorawe na α e relacijata β = U α , t.e. unijata e
i = 1
kone~na so najmnogu |M| ~lenovi, pri {to so |M| e ozna~en brojot na elementi
vo M.
2.16 o Ako α e refleksivna i simetri~na relacija, toga{ e ekvivalentnost.
■
2.2.1. Ve`bi:
1. Neka e M={1,2,3,4}. Da se opredeli relacija α na M {to }e bide
tranzitivna, antisimetri~na i za koja{to }e va`i 1α2, 2α3, 3α4.
2. Da se najde gre{kata vo dokazov deka od simetri~nost i
tranzitivnost na relacijata α sleduva refleksivnost:
"Od simetri~nosta na α imame aαb⇒bαa, a od tranzitivnosta, pak,
aαb∧bαa⇒aαa. Zna~i α e refleksivna."
3. Neka e α⊆A×A. Toga{ α 2 ∩α=∅ akko aαb∧bαc⇒¬(aαc). Doka`i!
4. Neka α 1 , α 2 i β se relacii vo B, pri {to α 1 ⊆α 2 . Da se poka`e deka
(a) βα 1 ⊆βα 2 ;
(b) α 1 β⊆α 2 β.
5. Neka e α⊆A×A. Toga{ αα −1 e simetri~na relacija na A.
6. Neka e α⊆A×A. Da se poka`e deka:
51