Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

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Kapitel 1 Endliche Automaten und reguläre Sprachen Die regulären Sprachen ( ” regular sets“) sind die einfachsten formalen Sprachen. Wir werden Maschinenmodelle kennenlernen ( ” endliche Automaten“ in verschiedenen Varianten), die diesen Sprachen entsprechen, und andere Methoden, diese Sprachen zu beschreiben ( ” reguläre Ausdrücke“ und ” reguläre Grammatiken“). Wir wollen uns anhand der regulären Sprachen exemplarisch die Übergänge zwischen verschiedenen Beschreibungsformen für dieselbe Sprache klarmachen, und für diese Übergänge soweit wie möglich effiziente Algorithmen bereitstellen. Zudem wird sich zeigen, dass man für jede reguläre Sprache algorithmisch einen ” effizientesten“ Automaten konstruieren kann. Ebenso wichtig wie das Konzept der regulären Sprache ist das Konzept des Automaten selbst, das in vielen verschiedenen Teilbereichen der theoretischen und der praktischen Informatik Anwendung findet. 1.1 Deterministische endliche Automaten In diesem einleitenden Abschnitt besprechen wir das für die regulären Sprachen grundlegende Maschinenmodell: die deterministischen endlichen Automaten ( ” deterministic finite automata“, abgekürzt ” DFA“). Diese Automaten erhalten ein Eingabewort x = a 1 · · · a n ∈ Σ ∗ (für ein Alphabet Σ) vorgelegt, das einmal von links nach rechts gelesen wird. Endliche Automaten haben eine Steuereinheit, die eine endliche Speicherkapazität repräsentiert und abstrakt durch eine endliche Menge Q von Zuständen gegeben ist. Einer der Zustände ist als Startzustand ausgezeichnet (bezeichnet mit q 0 ). Startend in p 0 = q 0 , liest der DFA einen Buchstaben nach dem anderen und geht dabei in jedem Schritt in Abhängigkeit vom alten Zustand p t−1 und dem gerade gelesenen Buchstaben a t in einen Zustand p t über, für t = 1, 2, . . . , n. Welcher Zustand jeweils anzunehmen ist, wird von einer Übergangsfunktion δ : Q × Σ → Q vorgeschrieben (δ(q, a) = q ′ bedeutet: wird in Zustand q der Buchstabe a gelesen, so ist der neue Zustand q ′ ). Am Ende der Berechnung, d. h. 8
sobald der letzte Buchstabe a n gelesen wurde, wird (nur!) anhand von p n , dem schließlich erreichten Zustand, entschieden, ob x = a 1 · · · a n ” akzeptiert“ oder verworfen“ werden ” soll. Dazu wird eine Menge F ⊆ Q (die akzeptierenden“ Zustände) benutzt. ” Hinter dem Modell des deterministischen endlichen Automaten steht das etwas allgemeinere Konzept eines ” finite state system“: ein System mit endlich vielen Zuständen (Menge Q), das mit einer Folge von ” Signalen“ aus einem endlichen Vorrat Σ von Signalen gefüttert wird und auf jedes Signal mit dem Übergang in einen durch alten Zustand und Signal eindeutig bestimmten nächsten Zustand reagiert. Wenn man noch einen Startzustand q 0 spezifiziert ( ” Reset-Zustand“), so bestimmt jede Signalfolge (a 1 , . . . , a n ) ∈ Σ ∗ eine Folge von Zuständen, die das System durchläuft. Dieses Modell lässt sich auch durch eine Ausgabefunktion erweitern, so dass etwa in jedem Schritt ein Ausgabesignal oder eine endliche Folge von Ausgabesignalen erzeugt wird (Moore- und Mealy-Automaten, siehe weiter unten). Wir stellen die Bearbeitung eines Eingabewortes durch einen DFA wie folgt graphisch dar: a 1 a Start p = q p 2 p ... 0 0 1 2 a n p n ∋ F? Die Folge der durchlaufenen Zustände p 0 , . . . , p n wird als (gerichteter) Weg dargestellt, wobei natürlich Wiederholungen möglich sind. Die Kante vom Knoten p t−1 zum Knoten p t ist mit a t markiert. Wir geben nun eine präzise Definition von DFA’s und ihrer Arbeitsweise. 1.1.1 Definition (a) Ein deterministischer endlicher Automat ( ” deterministic finite automaton“ — DFA) M besteht aus 5 Komponenten: – einer endlichen Menge Q (der ” Zustandsmenge“); – einem Alphabet Σ; – einem ausgezeichneten Zustand q 0 ∈ Q (dem ” Startzustand“); – einer Menge F ⊆ Q von ” akzeptierenden“ Zuständen; – einer ” Übergangsfunktion“ δ : Q × Σ → Q. (Formal schreibt man M = (Q, Σ, q 0 , F, δ).) Aus technischen Gründen verallgemeinert man die Sichtweise und definiert, in welchen Zustand M gerät, wenn er in einem beliebigen Zustand q startet und das Wort w = b 1 · · · b m , m ≥ 0, liest: 9
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Seite 17 und 18: 1.1.8 Satz (a) Die Sprache ∅ ist
Seite 19 und 20: (e) Nach Lemma 1.1.7 ist es möglic
Seite 21 und 22: (b) Wir definieren ˆδ : Q × Σ
Seite 23 und 24: aus v keine Kante mit Markierung a
Seite 25 und 26: und, für B ∈ Q ′ , a ∈ Σ :
Seite 27 und 28: Konkatenation: L 1 , L 2 → L 1 L
Seite 29 und 30: 1.3.3 Satz Ist M ein NFA, so gibt e
Seite 31 und 32: L(i, k, k)L(k, k, k) ∗ L(k, j, k)
Seite 33 und 34: Beispiel: ε 1 1 ε Start 0 ε 2 ε
Seite 35 und 36: 1.3.8 Satz Sei Σ ein Alphabet. Ist
Seite 37 und 38: Abbildung 1.7: r = r 1 + r 2 : Aus
Seite 39 und 40: ( Aufpumpen“ heißt aus x = uvw d
Seite 41 und 42: 1.4.2 Behauptung Die folgenden Spra
Seite 43 und 44: Für w = b 1 · · · b m ∈ Σ
Seite 45 und 46: 1.5.6 Definition Σ sei ein Alphabe
Seite 47 und 48: 1.6.1 Satz Es gibt effiziente (d. h
Seite 49 und 50: 1.7.2 Bemerkung (a) Zu M definieren
Seite 51 und 52: Ist ∼ eine Äquivalenzrelation, s
Seite 53 und 54: Damit ergibt sich mit Definition 1.
Seite 55 und 56: Anmerkung: Wenn man etwas genauer h
Seite 57 und 58: K 2 = Q − F = {2, 4, 7, 9} Markie
Seite 59 und 60: { } ˜F = {K i | K i ⊆ F } = {0,
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Tabelle für 〈4〉: q 3 5 a 6 〈
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Beispiele: (Die ” trivialen“ Ä
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Beweis ” ⇒“: L = L M für DFA
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wird gelesen als: ” α ′ ist au
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Also: V = {S, /c, $, A, B, C}, Σ =
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(c) L 2 ist die Klasse aller Sprach
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Beweis ” ⇒“: Sei L = L M für
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M R : Start 0,1 0 0,1 C B A 0,1 M
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Wir zeigen: L(G) = {w ∈ Σ ∗ |
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S S S 0 1 S S 0 S 1 0 1 0 1 Die inn
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der nächste Ableitungsschritt ist.
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Beispiel: Das Wort 010101 besitzt i
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daß L(G) = L(G ′′ ). Man kann
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Um das einzusehen, betrachte man Ab
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Dabei ist α(T A ) = α(T B )α(T C
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S D^ A B D 0 A D 1 0 D 0 1 0 für G
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Die Aktion in Phase 1 wird so lange
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3.3 Das Pumping-Lemma für kontextf
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T: S T : 1 A T : 2 A u v w x y Dies
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3.3.2 Beispiel Aus der Grammatik in
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enutzen. Dabei gehen wir nach demse
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hat m Blätter. Die Wurzel muß zwe
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i 1 (a) 4 (b) 2 (a) 3 (b) 3 (a) 2 (
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Kapitel 4 Kellerautomaten In diesem
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Die hier betrachteten Kellerautomat
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(d) M akzeptiert w ∈ Σ ∗ , fal
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Eingabe # q a 1 a 2 a n Keller unte
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Kellerinhalt Restwort eine Rechtsab
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4.3.2 Fakt Es sei L ⊆ Σ ∗ . Da
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Das heißt aber w ∈ L M ⇔ w ∈
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Sei nun k > 1. Der Ableitungsbaum f
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4.5.1 Definition Ein deterministisc
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4.5.6 Lemma Wenn M ein DPDA ist, da
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4.6.2 Satz Die Klasse L 2 ist nicht
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Gegeben Frage Methode kontextfreie
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B 1 A 1 A 2 A 3 B 2 A 4 B 3 B 4 A 5
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Anhang A b-äre und b-adische Zahld
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Definition. Wenn a k−1 · · · a
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1. Fall: a k−1 = · · · = a 0 =
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n b = 10 b = 5 b = 4 b = 3 b = 2 b
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Korollar. Für jedes b ≥ 1 ist di
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(ii) (α) Wenn φ eine alF ist, dan
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(A 0 ) b(A 1 ) b(A 2 ) val b ((A 0
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(iii) die Einschränkung: nur die d
Seite 149 und 150:
x x d(T ) = −1 z y u z d(T ) = 1
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(i) B ⊆ M. (ii) Wenn a 1 , . . .
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5 1 9 2 3 4 7 5 3 entsprechen die W
Seite 155 und 156:
I.Ann.: i ≥ 0, Γ i R (B) ⊆ Γ
Seite 157:
Anhang C Mathematische Grundlagen 1
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