4.7.4 Satz Folgende Probleme sind unentscheidbar: Gegeben sei eine kontextfreie Grammatik G. (a) Ist G mehrdeutig? (b) Ist L(G) inhärent mehrdeutig? (c) Ist L(G) kontextfrei? (d) Ist L(G) deterministisch kontextfrei? (e) Ist L(G) regulär? 4.7.5 Satz (Schnittproblem, Äquivalenzproblem für DPDA) Folgende Probleme sind nicht entscheidbar: Gegeben seien zwei DPDA’s M 1 <strong>und</strong> M 2 . (a) Ist L M1 ∩ L M2 = ∅? (b) Ist L M1 = L M2 ? 130
Anhang A b-äre <strong>und</strong> b-adische Zahldarstellung Wir betrachten verschiedene Zahldarstellungen. Diese Untersuchungen liefern Beispiele für Induktionsbeweise <strong>und</strong> sie liefern sehr natürliche Abzählungen für die Mengen Σ ∗ , wobei Σ ein beliebiges Alphabet ist. Der Inhalt dieses Kapitels ist nicht prüfungsrelevant. A.1 Die b-äre Zahldarstellung In diesem Abschnitt diskutieren wir die mathematischen Gr<strong>und</strong>lagen für die Verwendung der Zahldarstellungen zu verschiedenen Basiszahlen. Allgemein üblich <strong>und</strong> vertraut ist die Dezimaldarstellung, das ist die Notation von Zahlen mit Ziffern 0, 1, 2, . . ., 9. In der Informatik von zentraler Bedeutung ist die Binärdarstellung, d. h. die Darstellung von Zahlen mit den Ziffern 0 <strong>und</strong> 1. Häufig verwendet wird auch die Oktaldarstellung (Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) <strong>und</strong> die Hexadezimaldarstellung (Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; dabei stehen A, . . . , F für 10, . . . , 15.) Weil man sich manchmal die Binärdarstellung von Zahlen in Bytes oder Maschinenwörter zerlegt denkt, sind auch Darstellungen zur Basis 2 8 = 256, 2 16 = 65536 oder 2 32 interessant. Beispielsweise kann man die Zahl 467 ∈ N in Binärdarstellung als 111010011, in Oktaldarstellung als 723 <strong>und</strong> in Hexadezimaldarstellung als 1D3 schreiben. Die Dezimaldarstellung ist natürlich 467. (Auch wenn es etwas pedantisch erscheint, ist es günstig, für diesen Abschnitt die Zahl n ∈ IN, die wir natürlich als Dezimalzahl (wie 467) notieren, von dem Wort (wie 467) über dem Alphabet {0, 1, 2, . . ., 9} zu unterscheiden, das diese Zahl darstellt.) Wir benutzen als Alphabete Mengen Σ b = {0, 1, . . . , b − 1} für b ≥ 2; für b ≤ 16 schreiben wir die Ziffern in der Schreibmaschinentype 0, 1, 2, . . . . Für Zahlsysteme mit mehr als 16 Ziffern muß man andere Konventionen benutzen. Am einfachsten ist es, die Ziffern dezimal zu notieren <strong>und</strong> die Wörter als k-Tupel mit Klammern <strong>und</strong> Kommas. (Z. B. hat die Zahl 300670126 zur Basis b = 100 die Darstellung (3,0,67,1,26). Alternativ könnte man die Zifferndarstellungen in Begrenzer einschließen <strong>und</strong> etwa schreiben.) Definition. Für b ≥ 2 <strong>und</strong> a k−1 · · · a 1 a 0 ∈ Σ + b = {0, 1, . . . , b − 1}+ sei 131
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Inhaltsverzeichnis 0 Vorbemerkungen
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Kapitel 0 Vorbemerkungen 0.1 Grundb
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(c) Ein ASCII-File ist ein Wort üb
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werden als Beschreibungsform (Spezi
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Weiter sei L ∗ := ⋃ {L i | i
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sobald der letzte Buchstabe a n gel
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1.1.3 Beispiel Wir beschreiben eine
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Als graphische Darstellung des Auto
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1.1.8 Satz (a) Die Sprache ∅ ist
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(e) Nach Lemma 1.1.7 ist es möglic
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(b) Wir definieren ˆδ : Q × Σ
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aus v keine Kante mit Markierung a
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und, für B ∈ Q ′ , a ∈ Σ :
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Konkatenation: L 1 , L 2 → L 1 L
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1.3.3 Satz Ist M ein NFA, so gibt e
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L(i, k, k)L(k, k, k) ∗ L(k, j, k)
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Beispiel: ε 1 1 ε Start 0 ε 2 ε
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1.3.8 Satz Sei Σ ein Alphabet. Ist
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Abbildung 1.7: r = r 1 + r 2 : Aus
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( Aufpumpen“ heißt aus x = uvw d
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1.4.2 Behauptung Die folgenden Spra
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Für w = b 1 · · · b m ∈ Σ
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1.5.6 Definition Σ sei ein Alphabe
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1.6.1 Satz Es gibt effiziente (d. h
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1.7.2 Bemerkung (a) Zu M definieren
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Ist ∼ eine Äquivalenzrelation, s
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Damit ergibt sich mit Definition 1.
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Anmerkung: Wenn man etwas genauer h
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K 2 = Q − F = {2, 4, 7, 9} Markie
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{ } ˜F = {K i | K i ⊆ F } = {0,
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Tabelle für 〈4〉: q 3 5 a 6 〈
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Beispiele: (Die ” trivialen“ Ä
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Beweis ” ⇒“: L = L M für DFA
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wird gelesen als: ” α ′ ist au
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Also: V = {S, /c, $, A, B, C}, Σ =
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(c) L 2 ist die Klasse aller Sprach
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Beweis ” ⇒“: Sei L = L M für
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M R : Start 0,1 0 0,1 C B A 0,1 M
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Wir zeigen: L(G) = {w ∈ Σ ∗ |
- Seite 79 und 80:
S S S 0 1 S S 0 S 1 0 1 0 1 Die inn
- Seite 81 und 82: der nächste Ableitungsschritt ist.
- Seite 83 und 84: Beispiel: Das Wort 010101 besitzt i
- Seite 85 und 86: daß L(G) = L(G ′′ ). Man kann
- Seite 87 und 88: Um das einzusehen, betrachte man Ab
- Seite 89 und 90: Dabei ist α(T A ) = α(T B )α(T C
- Seite 91 und 92: S D^ A B D 0 A D 1 0 D 0 1 0 für G
- Seite 93 und 94: Die Aktion in Phase 1 wird so lange
- Seite 95 und 96: 3.3 Das Pumping-Lemma für kontextf
- Seite 97 und 98: T: S T : 1 A T : 2 A u v w x y Dies
- Seite 99 und 100: 3.3.2 Beispiel Aus der Grammatik in
- Seite 101 und 102: enutzen. Dabei gehen wir nach demse
- Seite 103 und 104: hat m Blätter. Die Wurzel muß zwe
- Seite 105 und 106: i 1 (a) 4 (b) 2 (a) 3 (b) 3 (a) 2 (
- Seite 107 und 108: Kapitel 4 Kellerautomaten In diesem
- Seite 109 und 110: Die hier betrachteten Kellerautomat
- Seite 111 und 112: (d) M akzeptiert w ∈ Σ ∗ , fal
- Seite 113 und 114: Eingabe # q a 1 a 2 a n Keller unte
- Seite 115 und 116: Kellerinhalt Restwort eine Rechtsab
- Seite 117 und 118: 4.3.2 Fakt Es sei L ⊆ Σ ∗ . Da
- Seite 119 und 120: Das heißt aber w ∈ L M ⇔ w ∈
- Seite 121 und 122: Sei nun k > 1. Der Ableitungsbaum f
- Seite 123 und 124: 4.5.1 Definition Ein deterministisc
- Seite 125 und 126: 4.5.6 Lemma Wenn M ein DPDA ist, da
- Seite 127 und 128: 4.6.2 Satz Die Klasse L 2 ist nicht
- Seite 129 und 130: Gegeben Frage Methode kontextfreie
- Seite 131: B 1 A 1 A 2 A 3 B 2 A 4 B 3 B 4 A 5
- Seite 135 und 136: Definition. Wenn a k−1 · · · a
- Seite 137 und 138: 1. Fall: a k−1 = · · · = a 0 =
- Seite 139 und 140: n b = 10 b = 5 b = 4 b = 3 b = 2 b
- Seite 141 und 142: Korollar. Für jedes b ≥ 1 ist di
- Seite 143 und 144: (ii) (α) Wenn φ eine alF ist, dan
- Seite 145 und 146: (A 0 ) b(A 1 ) b(A 2 ) val b ((A 0
- Seite 147 und 148: (iii) die Einschränkung: nur die d
- Seite 149 und 150: x x d(T ) = −1 z y u z d(T ) = 1
- Seite 151 und 152: (i) B ⊆ M. (ii) Wenn a 1 , . . .
- Seite 153 und 154: 5 1 9 2 3 4 7 5 3 entsprechen die W
- Seite 155 und 156: I.Ann.: i ≥ 0, Γ i R (B) ⊆ Γ
- Seite 157: Anhang C Mathematische Grundlagen 1
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