Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

Das heißt aber w ∈ L M ⇔ w ∈ L(G), wie gewünscht.
Anmerkung
Mitunter will man unnötige ε-Züge vermeiden. Hierzu faßt man Expandierungs- und einen
Leseschritt zusammen, wenn die rechte Seite α der Produktion A → α aus der Expandierung
die Gestalt aγ mit a ∈ Σ und γ ∈ (V ∪ Σ) ∗ hat. Also:
(i) δ(q 0 , ε, A) = {(q 0 , α) | A → α ist in P und α beginnend mit einer Variablen}
(ii) δ(q 0 , a, A) = {(q 0 , γ) | A → aγ ist in P , α ∈ Σ, γ ∈ V ∪ Σ ∗ }.
Die Funktionsweise des PDA ist dieselbe wie vorher, also gilt wieder, daß genau die Elemente
von L(G) akzeptiert werden.
4.4.2 Definition Greibach-Normalform (Sheila G.)
Eine kontextfreie Grammatik G = (V, Σ, S, P ) ist in Greibach-Normalform, falls jede
Produktion die Form A → aB 1 . . . B k mit a ∈ Σ, B 1 , . . . , B k ∈ V , k ≥ 0 hat.
Fakt: Wenn L = L(G) für eine kontextfreie Grammatik G, dann gibt es eine Grammatik
in Greibach-Normalform mit, L(G ′ ) = L(G) − {ε}. G ′ kann in Zeit O(|G| 4 ) aus G
konstruiert werden.
4.4.3 Folgerung: Zu jeder kontextfreien Sprache G existiert ein PDA M ohne ε-
Übergänge, der L(G) − {ε} akzeptiert. (Der NPDA zur Grammatik G ′ in Greibach-
Normalform besitzt keine Übergänge der Form (i).)
4.4.4 Folgerung: Zu jeder kfG L existiert ein PDA M mit nur 1 Zustand, der L
akzeptiert. (Der eben konstruierte NPDA hat diese Eigenschaft.)
Es folgt der Beweis der anderen Richtung ( ”
(b) ⇒ (a)“) des Äquivalenzsatzes. Diese
Richtung hat eher theoretische Bedeutung, für die Praxis ist die Konstruktion in diesem
Beweis weniger relevant: man muß praktisch nie zu einem gegebenen PDA eine Grammatik
konstruieren. Dieser Beweis ist nicht prüfungsrelevant.
Es sei ein PDA M = (Q, Σ, Γ, q 0 , #, δ) gegeben. Wir geben eine kontextfreie Grammatik
G = (V, Σ, S, P ) an, die L M = L(G) erfüllt. Wegen der besonderen Form der Variablen
von G heißt diese Konstruktion auch die ”
Tripelkonstruktion“. Wir definieren
V := {S} ∪ {[q, A, p] | p, q ∈ Q, A ∈ Γ}.
(S ist das Startsymbol von G.) Unsere Absicht ist es, die Produktionen von G so anzulegen,
daß für w ∈ Σ ∗ gilt:
M kann von Konfiguration (q, w, A) (ein Symbol im Keller) aus startend die
Konfiguration (p, ε, ε) erreichen (w gelesen, Keller leer)
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