Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

L(i, k, k)L(k, k, k) ∗ L(k, j, k). ⊇“: Es ist klar, dass L(i, j, k) ⊆ L(i, j, k + 1) gilt. Liegt
”
ein Wort w ∈ L(i, k, k)L(k, k, k) ∗ L(k, j, k) vor, so kann man w = xy 1 · · · y l z schreiben für
ein l ≥ 0, x ∈ L(i, k, k), y 1 , . . . , y l ∈ L(k, k, k), z ∈ L(k, j, k). Diesen Wörtern entsprechen
Wege von v i nach v k bzw. v k nach v k bzw. v k nach v j , die nur Zwischenknoten in
{v 0 , . . . , v k−1 } benutzen. Hängen wir diese l + 2 Wege hintereinander, erhalten wir einen
Weg von v i nach v j mit Zwischenknoten in {v 0 , . . . , v k }, der w als Kantenbeschriftung
hat; also ist w ∈ L(i, j, k + 1). Damit ist (1.4) bewiesen.]
Mit Hilfe der Aussagen (1.1), (1.2), (1.4) konstruieren wir (durch Induktion über k) reguläre
Ausdrücke r i,j,k für L(i, j, k), 0 ≤ i, j < s, 0 ≤ k ≤ s.
(1.1’) r i,j,0 := a 1 + · · · + a s + ∅, wo L(i, j, 0) = {a 1 , · · · , a s } ⊆ Σ, i ≠ j.
(1.2’) r i,i,0 := a 1 + · · · + a s + ε, wo L(i, i, 0) = {a 1 , . . . , a s } ∪ {ε}.
(1.4’) r i,j,k+1 := r i,j,k + r i,k,k (r ∗ k,k,k )r k,j,k, für 0 ≤ i, j < s, 0 ≤ k < s.
Aus der Konstruktion und (1.1), (1.2), (1.4) folgt sofort (technisch: per Induktion über
k), dass
L(i, j, k) = L(r i,j,k ), für 0 ≤ i, j < s, 0 ≤ k ≤ s.
Schließlich setzen wir
es ist dann klar (mit (1.3)), dass
r j := r 0,j,s , für 0 ≤ j < s;
L(0, j) = L(0, j, s) = L(r 0,j,s ) = L(r j ).
Damit kann die Konstruktion von r M beendet werden, wie ganz am Anfang des Beweises
angegeben.
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Der Beweis liefert auch eine konstruktive Methode, um r M zu erzeugen. Unglücklicherweise
werden selbst für kleine Automaten die entstehenden Ausdrücke schnell unhandlich.
Man achte daher auf Vereinfachungsmöglichkeiten (Ersetzen von Teilausdrücken durch
äquivalente einfachere). Weiter kann es Arbeit sparen, wenn man nicht alle r i,j,k konstruiert,
sondern nur die, die man zur Konstruktion von r 0,j,s , j ∈ F , wirklich braucht.
Man kann beweisen, dass es eine Familie (M n ) n≥2 von DFS’s gibt, wo M n = (Q n , Σ n , . . . )
mit |Q n | = n, |Σ n | = n 2 , und wo der kleinste reguläre Ausdruck r n für L Mn mindestens
2 n−1 Symbole hat (vgl. Wegener-Buch, S. 132). Das bedeutet, dass im allgemeinen ein
Explodieren der Größe des entstehenden regulären Ausdrucks unvermeidlich ist.
1.3.4 Beispiel Wir wollen einen regulären Ausdruck für den NFA
Start
0
0
1
1
1
konstruieren. Zur Übung erzeugen wir alle r i,j,k .
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