Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

n b = 10 b = 5 b = 4 b = 3 b = 2 b = 1
0 ε ε ε ε ε ε
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 11
3 3 3 3 3 11 111
4 4 4 4 11 12 1111
5 5 5 11 12 21 11111
6 6 11 12 13 22 111111
7 7 12 13 21 111 1111111
8 8 13 14 22 112 11111111
9 9 14 21 23 121 111111111
10 A 15 22 31 122 1111111111
11 11 21 23 32 211 1 11
12 12 22 24 33 212 1 12
13 13 23 31 111 221 1 13
14 14 24 32 112 222 1 14
15 15 25 33 113 1111 1 15
16 16 31 34 121 1112 1 16
17 17 32 41 122 1121 1 17
18 18 33 42 123 1122 1 18
19 19 34 43 131 1211 1 19
20 1A 35 44 132 1212 1 20
21 21 41 111 133 1221 1 21
126 126 451 1332 11123 22222 1 126
127 127 452 1333 11131 111111 1 127
200 19A 125 2414 13332 2112112 1 200
1000 99A 13345 44214 323231 222212112 1 1000
Man versuche, die Gesetzmäßigkeiten zu entdecken, die das Weiterzählen von n auf n+1 in
diesen Darstellungen determinieren! Zudem beobachte man, daß allem Anschein nach die
Wörter in ∆ ∗ b in der kanonischen Reihenfolge“ aufgezählt werden, nämlich zunächst der
”
Länge nach geordnet und innerhalb der Gruppen gleicher Länge lexikographisch geordnet.
Wie bei der b-ären Darstellung zeigt man für die b-adische Darstellung Existenz und
Eindeutigkeit. Der Beweis hat auch dieselbe Struktur.
Satz 2. Sei b ≥ 1. Dann gibt es für jede Zahl n ∈ IN genau eine b-adische Darstellung.
Beweis. Wir bezeichnen die Aussage ”
n besitzt genau eine b-adische Darstellung“ mit E(n)
und zeigen ∀n : E(n) durch starke Induktion (Wertverlaufsinduktion) nach n. — Sei also
n ∈ IN.
1. Fall: n = 0. Dann ist ε eine b-adische Darstellung von n, mit k = 0. Kein Wort
c l−1 · · · c 1 c 0 ∈ ∆ ∗ b mit l ≥ 1 kann b-adische Darstellung von 0 sein, weil ∑ 0≤i 0
ist.
2. Fall: n ≥ 1.
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