Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

{a | a ∈ Σ} ∪ {∅} ∪ {+, ∗}, so hat G Mr höchstens 2l Knoten und höchstens 4l Kanten.
Wenn man die Datenstrukturen geschickt wählt, und Syntaxanalysetechniken aus späteren
Kapiteln benutzt, ist eine Konstruktion von G Mr aus r in Zeit O(l) möglich, da in jedem
Konstruktionsschritt nur eine fixe Menge von Kanten neu zu ziehen ist.
1.3.10 Beispiel Wendet man die Konstruktion aus 1.3.8 auf den regulären Ausdruck
0 ∗ 1 ∗ + 11 ∗ 0 an, ergibt sich folgender ε-NFA:
Start
ε
ε
ε
ε
ε 0 ε ε ε 1 ε
ε ε ε
1 ε ε 1 ε e 0
ε
ε
ε
Obgleich dieser Automat im anschaulichen Sinn übertriebenen Aufwand hat, ist seine
Knotenzahl nicht größer als 2 · # (Symbole in 0 ∗ · 1 ∗ + 1 · 1 ∗ · 0) = 2 · 12 = 24.
Wir fassen die beiden letzten Sätze zusammen:
1.3.11 Satz Eine Sprache L ⊆ Σ ∗ ist regulär genau dann, wenn L = L(r) für einen
regulären Ausdruck r über Σ.
1.3.12 Korollar Die Klasse der regulären Sprachen ist unter der ∗-Operation (Kleene-
Abschluss) abgeschlossen.
1.4 Das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen
Dieser Abschnitt behandelt eine ”
Struktur-Eigenschaft“, die jede reguläre Sprache besitzt
(Satz 1.4.1). Diese wird meistens dazu benutzt, um nachzuweisen, dass gewisse Sprachen
nicht regulär sind.
1.4.1 Satz (Pumping-Lemma für reguläre Sprachen)
Ist L regulär, so gibt es eine Zahl n ≥ 1, für die folgendes gilt:
Ist x ∈ L, |x| ≥ n, so kann man x = uvw schreiben für u, v, w ∈ Σ ∗ , derart dass |uv| ≤
n, |v| ≥ 1, und uv i w ∈ L für alle i ≥ 0.
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