Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

1.3.8 Satz Sei Σ ein Alphabet. Ist r ein regulärer Ausdruck über Σ, so existiert ein
ε-NFA M r mit L(r) = L Mr . (Nach 1.3.7 und 1.2.3 ist also L(r) regulär.)
Beweis Wir zeigen durch Induktion über den Aufbau von r die folgende Aussage: Es
gibt einen ε-NFA
M r = (Q, Σ, q 0 , {q f }, δ), mit q 0 ≠ q f .
mit L(r) = L Mr . (M r hat also genau einen akzeptierenden Zustand, der zudem vom
Startzustand verschieden ist.)
Die Automaten werden dabei durchweg in der Graphdarstellung angegeben. (Man beachte,
dass ähnliche Konstruktionen auch ohne die Einschränkung q 0 /∈ F und |F | = 1
möglich sind; dadurch vermindert sich u. U. die Größe des entstehenden Automaten.) Die
folgenden Skizzen zeigen den Aufbau der Automaten M ∅ , M ε , M a und die induktive Technik,
mit der man aus M r1 und M r2 ε-NFA’s M (r1 +r 2 ), M (r1 r 2 ) und M (r ∗
1 ) aufbaut. Dabei
stellt ein Rechteck
M:
q q’ G M
immer den Graphen eines ε-NFA M mit Startzustand q 0 = q und akzeptierendem Zustand
q f = q ′ dar.
M O :
Start 0
1
Abbildung 1.3: r = ∅ : G M∅
hat keine Kante!
M ε :
Start 0
ε
1
Abbildung 1.4: r = ε : G Mε
hat eine ε-Kante.
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