Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

B.3 Definition Für beliebiges b : A → {0, 1} und alF φ definieren wir val b (φ) wie
folgt:
(i) val b (A i ) = b(A i ), für i ∈ IN;
(ii)
(α) Ist φ = (¬ψ), so ist { 1 falls valb (ψ) = 0
val b (φ) = 1 − val b (ψ) =
0 falls val b (ψ) = 1
(Man sieht: hier wird die Negation“ modelliert.)
”
(β) Ist φ = (ψ ∧ ϑ), so ist { 1 falls valb (ψ) = val
val b (φ) = val b (ψ) · val b (ϑ) =
b (ϑ) = 1
0 sonst.
(Hier wird die Idee modelliert, daß φ wahr ist, wenn ψ wahr ist und ϑ wahr
ist.)
(γ) Ist φ = (ψ ∨ ϑ), so ist
{ 0 falls valb (ψ) = val
val b (φ) = max{val b (ψ), val b (ϑ)} =
b (ϑ) = 0
1 sonst.
(δ) Ist φ = (ψ → ϑ), so ist
{ val b (φ) = max{1 − val b (ψ), val b (ϑ)} =
1 falls valb (ψ) = 0 oder val b (ϑ) = 1
(Dies entspricht der klassischen
0 sonst.
Interpretation des Implikationspfeils: ψ → ϑ ist falsch, genau dann wenn ψ
wahr und ϑ falsch ist.)
(ε) Ist φ = (ψ{ ↔ ϑ), so ist
1 falls valb (ψ) = val
val b (φ) =
b (ϑ)
0 falls val b (ψ) ≠ val b (ϑ)
Beispiele: Die Belegung b sei wie folgt gewählt: b(A i ) = 1, falls i gerade und b(A i ) = 0,
falls i ungerade. Dann gilt:
val b
(
(A0 ∨ A 1 ) ) = max{b(A 0 ), b(A 1 )} = 1
val b
(
((A1 ∨ A 1 ) ∨ A 3 ) ) = 0
val b
(
(¬A1 ) ) = 1
val b
(
(A0 ↔ A 2 ) ∨ (A 1 ↔ A 4 ) ) = 1, weil val b (A 0 ) = val b (A 2 ).
Um systematisch die ”
Semantik“ einer Formel φ zu erfassen, benutzt man in der Logik
oft Wahrheitstafeln, in denen jeder möglichen Belegung (spezifiziert für die Variablen, die
in φ vorkommen) der Wert val b (φ) zugordnet wird.
Beispiel:
142