Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

der nächste Ableitungsschritt ist. Der Knoten zu X t ′ in T s−1 erhält u Söhne, die mit
Y 1 , . . . , Y u markiert werden. Offenbar ist der resultierende Baum T s wieder X-Ableitungsbaum,
und α(T s ) = α s . (Ist u = 0, erhält der Knoten zu X t ′ einen Sohn mit Markierung
ε.)
X
X
T
s-1 s
T
X 1 ... X t’ ... Xt
X t’
Y 1
...
...
Y u
Nach r Schritten ergibt sich ein Baum T r mit α(T r ) = α r = α.
(ii) ⇒ (i)“: Es sei ein X-Ableitungsbaum T gegeben. Durch Induktion nach der Tiefe k
”
von T zeigen wir, daß X ⇒ ∗ α(T ) gilt.
k = 0:
Hat T nur einen Knoten, die Wurzel, so ist α(T ) = X, und X 0 ⇒ X ist Ableitung.
k > 0: Ist T ein Baum, der nicht nur aus der Wurzel besteht, so muß die Wurzelmarkierung
X eine Variable A ∈ V sein. Falls die Wurzel nur einen, mit ε markierten, Sohn
besitzt, ist α(T ) = ε; dann muß aber A → ε Produktion sein, also A ⇒ ε Ableitung.
Sonst hat die Wurzel r ≥ 1 Söhne v 1 , . . . , v r , die mit X 1 , . . . , X r ∈ V ∪ Σ markiert sind.
Der i-te Unterbaum T i (mit Wurzel v i ) ist X i -Ableitungsbaum, für 1 ≤ i ≤ r, jeweils mit
Tiefe kleiner als k. Nach Induktionsvoraussetzung gilt
X i ⇒ ∗ α(T i ) , für 1 ≤ i ≤ r .
Durch Zusammensetzen dieser r Ableitungen erhalten wir die Ableitung
X ⇒ X 1 X 2 · · · X ∗ r ⇒ α(T 1 )X 2 · · · X ∗ r ⇒ α(T 1 )α(T 2 )X 3 · · · X ∗ r ⇒ · · ·
∗
⇒ α(T 1 ) · · · α(T r ) = α(T ) .
□
Beispiel:
Aus dem Baum
S
S
S
S
S
0
1
0 S 1
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