Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

Beweis
” ⇒“: L = L M für DFA M 1.7.15 ⇒ ind(∼ L ) ≤ ind(∼ M ) < ∞.
” ⇐“: Sei ind(∼ L) < ∞. Wir definieren einen DFA ˆM = ˆM(∼ L ) = ( ˆQ, Σ, ˆq 0 , ˆF , ˆδ) (den
Nerode-Automaten“) , wie folgt:
”
ˆQ := {[w] | w ∈ Σ ∗ } (Äquivalenzklassen bzgl. ∼ L ).
ˆq 0 := [ε]
ˆF := {[w] | w ∈ L}
ˆδ([w], a) := [wa], für [w] ∈ ˆQ, a ∈ Σ.
Offenbar ist | ˆQ| = ind(∼ L ) < ∞, nach Voraussetzung. Wir müssen zunächst zeigen, dass
ˆF und ˆδ wohldefiniert sind, dass also die Definitionen nicht von den Repräsentanten der
Äquivalenzklassen abhängen. Dies gilt für ˆF , da aus w ∈ L und w ∼ w ′ folgt, dass
wε ∈ L ⇔ w ′ ε ∈ L (da ∼ L rechtsinvariant ist), also ist w ′ ∈ L.
Aber auch ˆδ ist wohldefiniert: Ist w, w ′ , ∈ Σ ∗ , w ∼ w ′ , und a ∈ Σ, so ist wa ∼ L w ′ a (wegen
der Rechtsvarianz von ∼ L ), also [wa] = [w ′ a].
Schließlich müssen wir noch zeigen, dass L ˆM
= L. Dazu benützen wir folgende Hilfsbehauptung
(HB): ˆδ(ˆq 0 , w) = [w], für w ∈ Σ ∗ . (Beweis durch Induktion über |w| : w = ε :
ˆδ(ˆq 0 , ε) = ˆq 0 = [ε]. Ist w = ua, u ∈ Σ ∗ , a ∈ Σ, so ist ˆδ(ˆq 0 , ua), = ˆδ(ˆδ(ˆq 0 , u), a) I.V.
= ˆδ([u], a) =
[ua].)
Damit gilt für w ∈ Σ ∗ :
w ∈ L ˆM
⇔ ˆδ(ˆq 0 , w) ∈
ˆF
HB
⇔ [w] ∈
ˆF
Def. ˆF
⇔ w ∈ L.
Mit obiger Konstruktion haben wir direkt den Minimalautomaten für die reguläre Sprache
L gefunden:
1.7.17 Korollar Ist L = L M für einen DFA M = (Q, Σ, q 0 , F, δ) und ist
ˆM(∼ L ) = ( ˆQ, Σ, ˆq 0 , ˆF , ˆδ) 1.7.16
wie in 1.7.16, so ist | ˆQ| = ind(∼ L ) 1.7.15
≤ |Q|. □
□
In unserem Beispiel L(0 ∗ 1 ∗ ) erhalten wir den folgenden Minimalautomaten:
Start
[ ε ]
1
[1]
0
[10]
0
1
0,1
63