Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

Wir diskutieren nur den Fall mit zwei Unterbäumen, der andere geht analog. T B und T C
haben Tiefe < r, also werden nach I. V. B, C irgendwann markiert. Gemäß dem Kriterium
für das Abbrechen der Schleife ist am Ende des Algorithmus auch A sicher markiert.
” ⊇“: Unter Benutzung der obigen Beobachtung“ zeigt man leicht durch Induktion über
”
die Schleifendurchläufe, dass gilt: Wenn A markiert ist, dann gilt A ∈ V ε .
Folgerung: Teil (b) von 3.2.3 ist damit bewiesen. (Man muß nur noch testen, ob S ∈ V ε
oder nicht.)
Man überlege sich, wie der Algorithmus auf Produktionen erweiterbar ist, deren rechte
Seite beliebig ist, also nicht (∗) erfüllt.
Wir nehmen nun an, V ε wäre konstruiert, und geben die Grammatik G ′ an:
P ′ enthält alle Produktionen der Form
und zusätzlich die Produktionen
A → BC, A → B, A → a aus P
A → B , falls ∃C ∈ V ε : A → BC oder A → CB in P .
Die Produktionen A → ε aus P werden weggelassen.
Behauptung 2: L(G ′ ) = L(G) − ε.
Beweis von Beh. 2: Wir müssen zeigen, wie man Ableitungsbäume für G in solche für G ′
umformt und umgekehrt.
⊇“: Wir zeigen folgendes durch Induktion über die Tiefe r von A-Ableitungsbäumen,
”
A ∈ V , zur Grammatik G: Ist T A ein A-Ableitungsbaum für G mit α(T A ) = w ∈ Σ + , so
existiert ein A-Ableitungsbaum T A ′ für G′ mit α(T A ′ ) = w. Ist r = 1, so ist der Baum T A
A
a
(mit a = w ∈ Σ) selbst A-Ableitungsbaum für G ′ . Ist r > 1, so hat T A eine der folgenden
Formen:
(i)
A
(ii)
A
B
T
B
C
T C
T D
D
α(Τ )
B
α(Τ ) C α(Τ ) D
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