Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

werden als Beschreibungsform (Spezifikation) von Sprachen hauptsächlich Grammatiken
betrachten, aber auch Maschinenmodelle untersuchen, die die Analyse von vorgelegten
Wörtern durchführen können, im Hinblick darauf, ob sie zu einer Sprache gehören oder
nicht.
Wenn L eine Sprache über Σ ist, so gehört zu L in ganz natürlicher Weise ein Entscheidungsproblem,
nämlich:
Wortproblem für L: Eingabe: w ∈ Σ ∗ . Ausgabe: JA, falls w ∈ L, NEIN sonst.
Umgekehrt kann man normalerweise Entscheidungsprobleme als Wortprobleme über passenden
Sprachen formulieren.
0.1.12 Beispiel
(a) L ∅ = ∅ heißt die leere Sprache; L ε = {ε} ist die Sprache, die nur das leere Wort
enthält. L ∅ und L ε sind Sprache über Σ für jedes Alphabet Σ. Für jedes beliebige
Alphabet Σ ist Σ ⊆ Σ ∗ , also ist die Menge Σ eine Sprache; für n ∈ IN beliebig ist
Σ n eine Sprache, Σ ∗ ist Sprache über Σ. Für a ∈ Σ ist {a n | n ∈ IN} Sprache über
Σ.
(b) Sei Σ = {0, 1} das binäre Alphabet. Dann ist Σ + = die Sprache aller nichtleeren Bitstrings;
Σ 8 ist die Sprache, die genau die 256 verschiedenen Bytes enthält; Σ 32 ist die
Sprache, die alle 32-Bit-Wörter enthält. Einem Binärwort w = b k−1 · · · b 0 ∈ Σ k entspricht
die Zahl (w) 2 = ∑ k−1
i=0 b i2 i (Umrechnung von Binärdarstellung in natürliche
Zahl.) Ist i ∈ IN, so heißt ein Wort w mit |w| ≥ 1 und (w) 2 = i eine Binärdarstellung
von i. Das kürzeste solche Wort w (außer für (0) 2 = 0 hat das Wort w als
erstes Zeichen eine 1) heißt oft die“ Binärdarstellung von i und wird mit bin(i)
”
bezeichnet.
Für i ∈ IN nennen wir 1 i die Unärdarstellung von i. Offenbar ist die Abbildung
IN ∋ i ↦→ 1 i ∈ {1} ∗
eine Bijektion. Eine (recht natürliche) Bijektion IN ↔ {1, 2} ∗ wird im Anhang vorgestellt.
(c) Man kann nun mathematische und andere Probleme als Wortprobleme über passenden
Sprachen darstellen, z. B.
L gerade = {0, 10, 100, 110, 1000, 1010, 1100, . . .} = {bin(n) ∈ {0, 1} ∗ | n gerade}.
L bin = {0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, . . .} = {bin(n) | n ∈ N }.
L prim = {10, 11, 101, 111, 1011, 1101, 10001, 10011, . . .} = {bin(p) | p Primzahl}.
L Primzahlzwilling = {bin(i)#bin(j) | i, j ∈ IN, i = j + 2, i, j Primzahl}.
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