Inhaltsverzeichnis - Automaten und Formale Sprachen

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S 001101: S S D D 0 D 1 0 D 0 1 S D 1 0 1 D 0 D 1 0 1 T 2 0010101101: S S S D 0 D D 0 D 1 0 S D 1 0 1 S S 1 D 0 D 1 S S 0 1 D 0 D 1 D 0 D 1 0 1 0 1 Man macht sich klar, daß hier u = 0, v = 01, w = 01, x = ε und y = 101 gilt. Überprüfe die Aussagen (i), (ii), (iii) aus 3.3.1! Ganz genau wie im Fall des Pumping-Lemmas für reguläre Sprachen wollen wir 3.3.1 als Hilfsmittel zur Konstruktion von Beweisen für die Nicht-Kontextfreiheit gewisser Sprachen 98
enutzen. Dabei gehen wir nach demselben Schema vor wie in Kapitel 1 (vor 1.4.2). Wir betrachten einige Beispiele. 3.3.3 Behauptung Die folgenden Sprachen sind nicht kontextfrei: (a) L 1 = {a m b m c m | m ≥ 1}. (b) L 2 = {a m b k c m d k | m, k ≥ 1}. (c) L 3 = {0 n2 | n ≥ 1}. Beweis von 3.3.3: (a) Beweis indirekt. Angenommen, L 1 wäre kontextfrei. Dann gibt es dazu ein n ≥ 1 mit den Eigenschaften wie im Pumping-Lemma 3.3.1 angegeben. Wähle nun z = a n b n c n ∈ L 1 . Nach 3.3.1 gibt es u, v, w, x, y ∈ Σ ∗ derart daß (i) a n b n c n = uvwxy, (ii) |vwx| ≤ n, (iii) |v| + |x| ≥ 1, (iv) ∀i ∈ IN : uv i wx i y ∈ L 1 . Wegen (i), (ii) haben wir, daß vwx entweder ein Teilwort von a n b n oder ein Teilwort von b n c n sein muß (vwx kann nicht ” b n echt überspannen“). Sei z. B. vwx Teilwort von a n b n (im Fall b n c n argumentiert man analog). Dann ist im Wort uv 0 wx 0 y die Zahl der a’s und b’s zusammen gleich 2n − |v| − |x| < 2n (wegen (iii)), jedoch die Zahl der c’s gleich n. Also ist uv 0 wx 0 y ∉ L 1 . Dies widerspricht aber (iv). (b) Beweis indirekt. Angenommen, L 2 wäre kontextfrei. Dann gibt es dazu ein n ≥ 1 mit den Eigenschaften wie im Pumping-Lemma 3.3.1 angegeben. Wähle nun z = a n b n c n d n ∈ L 2 . Nach 3.3.1 gibt es u, v, w, x, y ∈ Σ ∗ derart daß (i) a n b n c n d n = uvwxy, (ii) |vwx| ≤ n, (iii) |v| + |x| ≥ 1, (iv) ∀i ∈ IN : uv i wx i y ∈ L 2 . Wegen (i) und (ii) haben wir, daß vwx entweder Teilwort von a n b n oder Teilwort von b n c n oder Teilwort von c n d n sein muß. 1. Fall: vwx Teilwort von a n b n . Dann ist im Wort z 0 := uv 0 wx 0 y die Zahl der a’s und b’s zusammen gleich 2n−|v|−|x| < 2n (wegen (iii)), aber die Zahl der c’s und d’s zusammmen gleich 2n. Also ist z 0 = uv 0 wx 0 y ∉ L 2 . Dies widerspricht (iv). 2. Fall: vwx Teilwort von b n c n . Argumentiere genauso — spiele die Gesamtzahl der b’s und c’s in z 0 gegen die der a’s und d’s aus. 3. Fall: vwx Teilwort von c n d n . Analog. 99
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Inhaltsverzeichnis 0 Vorbemerkungen
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Kapitel 0 Vorbemerkungen 0.1 Grundb
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(c) Ein ASCII-File ist ein Wort üb
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werden als Beschreibungsform (Spezi
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Weiter sei L ∗ := ⋃ {L i | i
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sobald der letzte Buchstabe a n gel
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1.1.3 Beispiel Wir beschreiben eine
Seite 15 und 16:
Als graphische Darstellung des Auto
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1.1.8 Satz (a) Die Sprache ∅ ist
Seite 19 und 20:
(e) Nach Lemma 1.1.7 ist es möglic
Seite 21 und 22:
(b) Wir definieren ˆδ : Q × Σ
Seite 23 und 24:
aus v keine Kante mit Markierung a
Seite 25 und 26:
und, für B ∈ Q ′ , a ∈ Σ :
Seite 27 und 28:
Konkatenation: L 1 , L 2 → L 1 L
Seite 29 und 30:
1.3.3 Satz Ist M ein NFA, so gibt e
Seite 31 und 32:
L(i, k, k)L(k, k, k) ∗ L(k, j, k)
Seite 33 und 34:
Beispiel: ε 1 1 ε Start 0 ε 2 ε
Seite 35 und 36:
1.3.8 Satz Sei Σ ein Alphabet. Ist
Seite 37 und 38:
Abbildung 1.7: r = r 1 + r 2 : Aus
Seite 39 und 40:
( Aufpumpen“ heißt aus x = uvw d
Seite 41 und 42:
1.4.2 Behauptung Die folgenden Spra
Seite 43 und 44:
Für w = b 1 · · · b m ∈ Σ
Seite 45 und 46:
1.5.6 Definition Σ sei ein Alphabe
Seite 47 und 48:
1.6.1 Satz Es gibt effiziente (d. h
Seite 49 und 50: 1.7.2 Bemerkung (a) Zu M definieren
Seite 51 und 52: Ist ∼ eine Äquivalenzrelation, s
Seite 53 und 54: Damit ergibt sich mit Definition 1.
Seite 55 und 56: Anmerkung: Wenn man etwas genauer h
Seite 57 und 58: K 2 = Q − F = {2, 4, 7, 9} Markie
Seite 59 und 60: { } ˜F = {K i | K i ⊆ F } = {0,
Seite 61 und 62: Tabelle für 〈4〉: q 3 5 a 6 〈
Seite 63 und 64: Beispiele: (Die ” trivialen“ Ä
Seite 65 und 66: Beweis ” ⇒“: L = L M für DFA
Seite 67 und 68: wird gelesen als: ” α ′ ist au
Seite 69 und 70: Also: V = {S, /c, $, A, B, C}, Σ =
Seite 71 und 72: (c) L 2 ist die Klasse aller Sprach
Seite 73 und 74: Beweis ” ⇒“: Sei L = L M für
Seite 75 und 76: M R : Start 0,1 0 0,1 C B A 0,1 M
Seite 77 und 78: Wir zeigen: L(G) = {w ∈ Σ ∗ |
Seite 79 und 80: S S S 0 1 S S 0 S 1 0 1 0 1 Die inn
Seite 81 und 82: der nächste Ableitungsschritt ist.
Seite 83 und 84: Beispiel: Das Wort 010101 besitzt i
Seite 85 und 86: daß L(G) = L(G ′′ ). Man kann
Seite 87 und 88: Um das einzusehen, betrachte man Ab
Seite 89 und 90: Dabei ist α(T A ) = α(T B )α(T C
Seite 91 und 92: S D^ A B D 0 A D 1 0 D 0 1 0 für G
Seite 93 und 94: Die Aktion in Phase 1 wird so lange
Seite 95 und 96: 3.3 Das Pumping-Lemma für kontextf
Seite 97 und 98: T: S T : 1 A T : 2 A u v w x y Dies
Seite 99: 3.3.2 Beispiel Aus der Grammatik in
Seite 103 und 104: hat m Blätter. Die Wurzel muß zwe
Seite 105 und 106: i 1 (a) 4 (b) 2 (a) 3 (b) 3 (a) 2 (
Seite 107 und 108: Kapitel 4 Kellerautomaten In diesem
Seite 109 und 110: Die hier betrachteten Kellerautomat
Seite 111 und 112: (d) M akzeptiert w ∈ Σ ∗ , fal
Seite 113 und 114: Eingabe # q a 1 a 2 a n Keller unte
Seite 115 und 116: Kellerinhalt Restwort eine Rechtsab
Seite 117 und 118: 4.3.2 Fakt Es sei L ⊆ Σ ∗ . Da
Seite 119 und 120: Das heißt aber w ∈ L M ⇔ w ∈
Seite 121 und 122: Sei nun k > 1. Der Ableitungsbaum f
Seite 123 und 124: 4.5.1 Definition Ein deterministisc
Seite 125 und 126: 4.5.6 Lemma Wenn M ein DPDA ist, da
Seite 127 und 128: 4.6.2 Satz Die Klasse L 2 ist nicht
Seite 129 und 130: Gegeben Frage Methode kontextfreie
Seite 131 und 132: B 1 A 1 A 2 A 3 B 2 A 4 B 3 B 4 A 5
Seite 133 und 134: Anhang A b-äre und b-adische Zahld
Seite 135 und 136: Definition. Wenn a k−1 · · · a
Seite 137 und 138: 1. Fall: a k−1 = · · · = a 0 =
Seite 139 und 140: n b = 10 b = 5 b = 4 b = 3 b = 2 b
Seite 141 und 142: Korollar. Für jedes b ≥ 1 ist di
Seite 143 und 144: (ii) (α) Wenn φ eine alF ist, dan
Seite 145 und 146: (A 0 ) b(A 1 ) b(A 2 ) val b ((A 0
Seite 147 und 148: (iii) die Einschränkung: nur die d
Seite 149 und 150: x x d(T ) = −1 z y u z d(T ) = 1
Seite 151 und 152:
(i) B ⊆ M. (ii) Wenn a 1 , . . .
Seite 153 und 154:
5 1 9 2 3 4 7 5 3 entsprechen die W
Seite 155 und 156:
I.Ann.: i ≥ 0, Γ i R (B) ⊆ Γ
Seite 157:
Anhang C Mathematische Grundlagen 1
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